ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 9794BA92 из 190
Смеси: масса кислоты в втором растворе
21
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ
Сначала решите на бумаге
Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.
Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.
№ 21.
Решение.
Пусть x и y — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<100,0<y<100.
По условиям двух смешиваний получаем:
{40x+30y=5110,x+y=144.
Выразим y и подставим в первое уравнение:
y=144−x
40x+30(144−x)=5110
10x+4320=5110
10x=790
x=10790=79
y=144−79=65
Масса кислоты в втором растворе:
30⋅10065=239
Ответ:19,5кг.
На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.
Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг
Что нужно найти
Найти массу кислоты в втором сосуде.
Идея решения
Первое смешивание даёт взвешенное среднее концентраций. При смешивании равных масс концентрация равна среднему арифметическому. Эти два условия дают систему.
Массы растворов
40 кг и 30 кг
Смесь всего содержимого
73% кислоты
Смесь равных масс
72% кислоты
1Обозначаем концентрации
Пусть x и y — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<100, 0<y<100.
Два условия смешивания
Обозначения на чертеже
x% — концентрация первого раствора.
y% — концентрация второго раствора.
В первом смешивании берут всё содержимое сосудов. Условие о равных массах относится к другому смешиванию.Открыть схему крупнее ↗
2Используем смешивание всего содержимого
Вместе растворы весят 70 кг и содержат 73% кислоты. Сумма масс кислоты до смешивания равна массе кислоты после него.
10040x+10030y=1005110
Массы кислоты в килограммах.
40x+30y=5110
Умножили уравнение на 100.
3Используем смешивание равных масс
Если взять из обоих сосудов одинаковую массу, то концентрация смеси равна среднему их процентов. По условию это 72%.
2x+y=72
Среднее двух концентраций.
x+y=144
Умножили на 2.
4Решаем систему подстановкой
Из второго уравнения выражаем y и подставляем в первое.
y=144−x
Процент кислоты во втором растворе через x.
40x+30(144−x)=5110
Подстановка в первое уравнение.
10x+4320=5110
Раскрываем скобки и собираем слагаемые.
10x=790
Переносим постоянное слагаемое вправо.
x=10790=79
Получили процент кислоты в первом растворе.
y=144−79=65
Восстанавливаем процент во втором растворе.
5Находим именно массу кислоты
Вопрос относится к второму сосуду. Умножаем массу его раствора на долю кислоты.
30⋅10065=239
Результат выражен в килограммах, а не в процентах.
6Проверяем оба смешивания
Подставляем найденные концентрации в оба условия.
7040⋅79+30⋅65=73
Концентрация при смешивании всего содержимого, %.
279+65=72
Концентрация при смешивании равных масс, %.
7Записываем ответ
Найти массу кислоты в втором сосуде.
19,5кг
Указываем найденную величину и её единицы измерения.
Что проверяет эксперт в задании №21
По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.
2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.
