Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 3FBD0710 из 190

Теплоход со стоянкой: скорость течения

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится
11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3FBD07.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость течения, 0<x<150<x<15. Тогда скорость теплохода по течению 15+x15+x км/ч, против — 15−x15-x км/ч.

Время движения без стоянки:

32−11\displaystyle 32-11=21\displaystyle =21

Получаем уравнение:

14015+x+14015−x\displaystyle \frac{140}{15+x}+\frac{140}{15-x}=21\displaystyle =21
140(15−x)+140(15+x)\displaystyle 140(15-x)+140(15+x)=21(225−x2)\displaystyle =21(225-x^2)
4200\displaystyle 4200=4725−21x2\displaystyle =4725-21x^2
x2−25\displaystyle x^{2} - 25=0\displaystyle =0
x2\displaystyle x^2=25\displaystyle =25
x1\displaystyle x_1=−5,x2\displaystyle =-5,\qquad x_2=5\displaystyle =5

По смыслу задачи 0<x<150<x<15. Значение x=−5x=-5 не подходит. Следовательно, x=5x=5.

Ответ: 5  км/ч5\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость течения реки.

Идея решения

Из общего времени вычитаем стоянку. Оставшееся время равно сумме времени по течению и против течения.

Путь в каждую сторону
140 км
Скорость без течения
15 км/ч
Стоянка
11 ч
Общее время
32 ч

Находим время движения

Из общего времени 32 ч исключаем стоянку 11 ч.

3232−11-11=21=21

В пути теплоход был столько часов; стоянка сюда не входит.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ 3FBD07.
Обозначения на чертеже
  • x — скорость течения.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — скорость течения, 0<x<150<x<15. Тогда скорость теплохода по течению 15+x15+x км/ч, против — 15−x15-x км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

14015+x\frac{140}{15+x}

Время по течению, ч.

14015−x\frac{140}{15-x}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Из общего времени вычитаем стоянку. Оставшееся время равно сумме времени по течению и против течения.

14015+x\frac{140}{15+x}+14015−x+\frac{140}{15-x}=21=21

Уравнение связывает времена из условия.

140(15−x)140(15-x)+140(15+x)+140(15+x)=21(225−x2)=21(225-x^2)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

42004200=4725=4725−21x2-21x^2

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Находим корни уравнения

Переносим свободный член и делим на коэффициент при квадрате. Если квадрат равен положительному числу, уравнение имеет два противоположных корня.

x2x^{2} −25- 25=0=0

Полученное квадратное уравнение.

x2x^2=25=25

Выражаем квадрат неизвестного.

x1x_1=−5,x2=-5,\qquad x_2=5=5

Оба числа дают нужный квадрат; допустимость проверим по смыслу задачи.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи 0<x<150<x<15. Значение x=−5x=-5 не подходит. Следовательно, x=5x=5.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

14020\frac{140}{20}=7=7

Время по течению.

14010\frac{140}{10}=14=14

Время против течения.

77+14+14+11+11=32=32

Добавляем стоянку и получаем полное время из условия.

Записываем ответ

Найти скорость течения реки.

5  км/ч5\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Время стоянки не включают во время движения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)