Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 0EB766167 из 190

Два велосипедиста: скорость второго

Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0EB766.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+15x+15 км/ч.

По условию получаем уравнение:

100x−100x+15\displaystyle \frac{100}{x}-\frac{100}{x+15}=6\displaystyle =6
100(x+15)−100x\displaystyle 100(x+15)-100x=6x(x+15)\displaystyle =6x(x+15)
1500\displaystyle 1500=6x2+90x\displaystyle =6x^2+90x
x2+15x−250\displaystyle x^{2} + 15 x - 250=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=152−4⋅1⋅(−250)\displaystyle =15^2-4\cdot1\cdot(-250)=1225\displaystyle =1225
x1\displaystyle x_1=−15−352\displaystyle =\frac{-15-35}{2}=−25\displaystyle =-25
x2\displaystyle x_2=−15+352\displaystyle =\frac{-15+35}{2}=10\displaystyle =10

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−25x=-25 не подходит. Следовательно, x=10x=10.

Ответ: 10  км/ч10\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость второго велосипедиста.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 100 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 6 ч меньше.

Расстояние
100 км
Разница скоростей
15 км/ч
Разница времени
6 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+15x+15 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 0EB766.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

100x\frac{100}{x}

Время второго велосипедиста, ч.

100x+15\frac{100}{x+15}

Время первого велосипедиста, ч.

Оба участника преодолевают по 100 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 6 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 100 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 6 ч меньше.

100x\frac{100}{x}−100x+15-\frac{100}{x+15}=6=6

Из большего времени вычитаем меньшее.

100(x+15)100(x+15)−100x-100x=6x(x+15)=6x(x+15)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+15).

15001500=6x2=6x^2+90x+90x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +15x+ 15 x −250- 250=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=15,c=15,\quad c=−250=-250

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=152=15^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−250)\cdot(-250)=1225=1225

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=35=35

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−15−352=\frac{-15-35}{2}=−25=-25

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−15+352=\frac{-15+35}{2}=10=10

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−25x=-25 не подходит. Следовательно, x=10x=10.

Полученное x уже является искомой величиной.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

10010\frac{100}{10}=10=10

Время второго велосипедиста, ч.

10025\frac{100}{25}=4=4

Время первого велосипедиста, ч.

1010−4-4=6=6

Разность времён равна 6 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость второго велосипедиста.

10  км/ч10\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 6.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об искомой величине.
Все задания №21 (190)