Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 7BB61397 из 190

Плот и лодка: отправление с задержкой

Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7BB613.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>4x>4. Тогда по течению скорость x+4x+4 км/ч, против — x−4x-4 км/ч.

Плот двигался 524\dfrac{52}{4} ч. Лодка вышла на час позже, поэтому время её движения:

524−1\displaystyle \frac{52}{4}-1=12\displaystyle =12

Получаем уравнение:

90x+4+90x−4\displaystyle \frac{90}{x+4}+\frac{90}{x-4}=12\displaystyle =12
90(x−4)+90(x+4)\displaystyle 90(x-4)+90(x+4)=12(x2−16)\displaystyle =12(x^2-16)
180x\displaystyle 180 x=12x2−192\displaystyle =12 x^{2} - 192
x2−15x−16\displaystyle x^{2} - 15 x - 16=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−15)2−4⋅1⋅(−16)\displaystyle =(-15)^2-4\cdot1\cdot(-16)=289\displaystyle =289
x1\displaystyle x_1=15−172\displaystyle =\frac{15-17}{2}=−1\displaystyle =-1
x2\displaystyle x_2=15+172\displaystyle =\frac{15+17}{2}=16\displaystyle =16

По смыслу задачи x>4x>4. Значение x=−1x=-1 не подходит. Следовательно, x=16x=16.

Ответ: 16  км/ч16\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Идея решения

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

Между пристанями
90 км
Путь плота к возвращению лодки
52 км
Скорость течения
4 км/ч
Задержка старта лодки
1 ч

Находим время движения лодки

Плот движется со скоростью течения 4 км/ч. Лодка вышла на час позже, а завершила путь в момент, когда плот прошёл 52 км.

524\frac{52}{4}=13=13

Время движения плота, ч.

524\frac{52}{4}−1-1=12=12

Время лодки на путь туда и обратно, ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ 7BB613.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>4x>4. Тогда по течению скорость x+4x+4 км/ч, против — x−4x-4 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

90x+4\frac{90}{x+4}

Время по течению, ч.

90x−4\frac{90}{x-4}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

90x+4\frac{90}{x+4}+90x−4+\frac{90}{x-4}=12=12

Уравнение связывает времена из условия.

90(x−4)90(x-4)+90(x+4)+90(x+4)=12(x2−16)=12(x^2-16)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

180x180 x=12x2=12 x^{2} −192- 192

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} −15x- 15 x −16- 16=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−15,c=-15,\quad c=−16=-16

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−15)2=(-15)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−16)\cdot(-16)=289=289

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=17=17

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=15−172=\frac{15-17}{2}=−1=-1

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=15+172=\frac{15+17}{2}=16=16

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>4x>4. Значение x=−1x=-1 не подходит. Следовательно, x=16x=16.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

9020\frac{90}{20}=92=\frac{9}{2}

Время по течению.

9012\frac{90}{12}=152=\frac{15}{2}

Время против течения.

11+92+\frac{9}{2}+152+\frac{15}{2}=13=13

Плот двигался на час дольше лодки.

4(92+152+1)4(\frac{9}{2}+\frac{15}{2}+1)=52=52

За это время плот прошёл расстояние из условия.

Записываем ответ

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

16  км/ч16\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Скорость плота равна скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)