Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ BC7ABD90 из 190

Лодка: разность времени по течению и против

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание BC7ABD.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, x>5x>5. Тогда против течения её скорость x−5x-5 км/ч, по течению — x+5x+5 км/ч.

Получаем уравнение:

208x−5−208x+5\displaystyle \frac{208}{x-5}-\frac{208}{x+5}=5\displaystyle =5
208(x+5)−208(x−5)\displaystyle 208(x+5)-208(x-5)=5(x2−25)\displaystyle =5(x^2-25)
2080\displaystyle 2080=5x2−125\displaystyle =5x^2-125
x2−441\displaystyle x^{2} - 441=0\displaystyle =0
x2\displaystyle x^2=441\displaystyle =441
x1\displaystyle x_1=−21,x2\displaystyle =-21,\qquad x_2=21\displaystyle =21

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−21x=-21 не подходит. Следовательно, x=21x=21.

Ответ: 21  км/ч21\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость лодки в неподвижной воде.

Идея решения

Обратно лодка идёт по течению, поэтому этот путь занимает на 5 ч меньше. Выразим оба времени и составим их разность.

Путь в каждую сторону
208 км
Скорость течения
5 км/ч
Разность времён
5 ч

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, x>5x>5. Тогда против течения её скорость x−5x-5 км/ч, по течению — x+5x+5 км/ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ BC7ABD.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

208x−5\frac{208}{x-5}

Время против течения, ч.

208x+5\frac{208}{x+5}

Время по течению, ч.

Составляем уравнение по условию

Обратно лодка идёт по течению, поэтому этот путь занимает на 5 ч меньше. Выразим оба времени и составим их разность.

208x−5\frac{208}{x-5}−208x+5-\frac{208}{x+5}=5=5

Уравнение связывает времена из условия.

208(x+5)208(x+5)−208(x−5)-208(x-5)=5(x2−25)=5(x^2-25)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

20802080=5x2=5x^2−125-125

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Находим корни уравнения

Переносим свободный член и делим на коэффициент при квадрате. Если квадрат равен положительному числу, уравнение имеет два противоположных корня.

x2x^{2} −441- 441=0=0

Полученное квадратное уравнение.

x2x^2=441=441

Выражаем квадрат неизвестного.

x1x_1=−21,x2=-21,\qquad x_2=21=21

Оба числа дают нужный квадрат; допустимость проверим по смыслу задачи.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−21x=-21 не подходит. Следовательно, x=21x=21.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

20816\frac{208}{16}=13=13

Время против течения.

20826\frac{208}{26}=8=8

Время по течению.

1313−8-8=5=5

Разница совпадает с условием.

Записываем ответ

Найти скорость лодки в неподвижной воде.

21  км/ч21\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Собственная скорость судна должна быть больше скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Считать, что равные расстояния означают равные времена.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)