Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ E75DAB131 из 190

Теплоход со стоянкой: собственная скорость

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода
в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится
23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E75DAB.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость теплохода, x>5x>5. Тогда по течению скорость x+5x+5 км/ч, против — x−5x-5 км/ч.

Время движения без стоянки:

35−23\displaystyle 35-23=12\displaystyle =12

Получаем уравнение:

80x+5+80x−5\displaystyle \frac{80}{x+5}+\frac{80}{x-5}=12\displaystyle =12
80(x−5)+80(x+5)\displaystyle 80(x-5)+80(x+5)=12(x2−25)\displaystyle =12(x^2-25)
160x\displaystyle 160 x=12x2−300\displaystyle =12 x^{2} - 300
3x2−40x−75\displaystyle 3 x^{2} - 40 x - 75=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−40)2−4⋅3⋅(−75)\displaystyle =(-40)^2-4\cdot3\cdot(-75)=2500\displaystyle =2500
x1\displaystyle x_1=40−506\displaystyle =\frac{40-50}{6}=−53\displaystyle =- \frac{5}{3}
x2\displaystyle x_2=40+506\displaystyle =\frac{40+50}{6}=15\displaystyle =15

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−53x=- \dfrac{5}{3} не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Ответ: 15  км/ч15\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость теплохода в неподвижной воде.

Идея решения

Сначала исключим стоянку, затем сложим времена движения по течению и против течения.

Путь в каждую сторону
80 км
Скорость течения
5 км/ч
Стоянка
23 ч
Общее время
35 ч

Отделяем движение от стоянки

Теплоход отсутствовал 35 ч, из них 23 ч стоял.

3535−23-23=12=12

Это сумма времён движения в обе стороны.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ E75DAB.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость теплохода, x>5x>5. Тогда по течению скорость x+5x+5 км/ч, против — x−5x-5 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

80x+5\frac{80}{x+5}

Время по течению, ч.

80x−5\frac{80}{x-5}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Сначала исключим стоянку, затем сложим времена движения по течению и против течения.

80x+5\frac{80}{x+5}+80x−5+\frac{80}{x-5}=12=12

Уравнение связывает времена из условия.

80(x−5)80(x-5)+80(x+5)+80(x+5)=12(x2−25)=12(x^2-25)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

160x160 x=12x2=12 x^{2} −300- 300

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

3x23 x^{2} −40x- 40 x −75- 75=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=3,b=3,\quad b=−40,c=-40,\quad c=−75=-75

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−40)2=(-40)^2−4-4⋅3\cdot3⋅(−75)\cdot(-75)=2500=2500

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=50=50

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=40−506=\frac{40-50}{6}=−53=- \frac{5}{3}

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=40+506=\frac{40+50}{6}=15=15

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−53x=- \dfrac{5}{3} не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

8020\frac{80}{20}=4=4

Время по течению.

8010\frac{80}{10}=8=8

Время против течения.

44+8+8+23+23=35=35

Вместе со стоянкой получаем общее время.

Записываем ответ

Найти скорость теплохода в неподвижной воде.

15  км/ч15\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Время стоянки не включают во время движения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)