Союзные слова «чего» и «что» различаются по падежу, но вводят равноправные пояснения одного содержания. Их соединяет одиночный «и», а причина с «так как» образует следующий уровень.
Шаг 1. Найдём грамматические основы и части предложения
Главная основа — «отец был озабочен». Его вступление в положение хозяина поясняют два однородных придаточных: «бабушка требовала» и «он считал». Последнее имеет причину «это определялось».
Шаг 2. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…вступлением в должность полного хозяина (1) чего непременно требовала бабушка и…
«Чего непременно требовала бабушка» относится к вступлению отца в положение хозяина. Перед первым придаточным пояснением ставим запятую.
(2) — без запятой
…хозяина чего непременно требовала бабушка (2) и что он сам считал…
«Чего ... требовала бабушка» и «что он сам считал своей обязанностью» — однородные придаточные, поясняющие одно содержание. Одиночный «и» соединяет их без запятой; между «и» и «что» запятой тоже нет.
(3) — без запятой
…чего непременно требовала бабушка и (3) что он сам считал своей…
«Чего ... требовала бабушка» и «что он сам считал своей обязанностью» — однородные придаточные, поясняющие одно содержание. Одиночный «и» соединяет их без запятой; между «и» и «что» запятой тоже нет.
(4) — ставим запятую
…он сам считал своей обязанностью (4) так как это определялось семейными…
«Так как это определялось семейными традициями» объясняет, почему отец считал это обязанностью. Перед целым союзом причины ставим запятую.
Текст с запятыми на указанных местах
На первых порах отец был очень озабочен своим вступлением в должность полного хозяина, чего непременно требовала бабушка и что он сам считал своей обязанностью, так как это определялось семейными традициями.
Шаг 3. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (4). Места (2), (3) оставляем без запятых по разобранным связям. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 14.
Ответ:14
ФИПИ: навигатор по пунктуации