Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 93098E199 из 200

Биквадратное уравнение со сдвигом

Решите уравнение ( x−3 ) 4  −3 ( x−3 ) 2  −10=0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 93098E.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Введём замену:

t=(x−3)2,t≥0\displaystyle t=(x - 3)^2,\quad t\geq0

Решаем:

t2−3t−10=0;\displaystyle t^{2} - 3 t - 10=0;D=(−3)2−4⋅1⋅(−10)=49;\displaystyle D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=49;t1=−2,t2=5\displaystyle t_{1}=-2,\quad t_{2}=5

Учитываем ограничение t≥0:

t=−2<0;\displaystyle t=-2 <0;t=5≥0\displaystyle t=5\geq0

Возвращаемся к x:

(x−3)2=5;\displaystyle (x - 3)^2=5;x−3=±5;\displaystyle x - 3=\pm \sqrt{5};x=3±5\displaystyle x=3\pm \sqrt{5}
Ответ:3−5;  5+3\displaystyle 3 - \sqrt{5};\;\sqrt{5} + 3

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

Повторяется одна и та же скобка во второй и четвёртой степени. Замена её квадрата превращает задачу в квадратное уравнение.

Уравнение
(x−3)4−3(x−3)2−10=0{(x-3)}^{4}-3{(x-3)}^{2}-10=0
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Заменяем повторяющийся квадрат

Пусть t=(x−3)2t=(x - 3)^2. Это квадрат действительного числа, поэтому t≥0t\geq0. Четвёртая степень равна t2t^2.

tt=(x−3)2,t≥0=(x - 3)^2,\quad t\geq0

Ограничение на новую переменную обязательно.

t2t^{2} −3t- 3 t −10- 10=0=0

Переписываем уравнение через t.

Решаем квадратное уравнение по t

Сравниваем уравнение с видом at2+bt+c=0at^2+bt+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

t2t^{2} −3t- 3 t −10- 10=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−3,c=-3,\quad c=−10=-10

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−3)2=(-3)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−10)\cdot(-10)=49=49

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=7=7

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

t1t_{1}=−(−3)−72⋅1=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=−2=-2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

t2t_{2}=−(−3)+72⋅1=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=5=5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Отбираем неотрицательные значения t

Новая переменная обозначает квадрат, поэтому проверяем знак каждого её значения.

tt=−2<0=-2 <0

Отрицательное значение квадрат принять не может: исключаем.

tt=5≥0=5\geq0

Это значение новой переменной допустимо.

Находим x из оставшегося квадрата

Для положительного значения квадрата существуют два возможных значения выражения в скобках.

(x−3)2(x - 3)^2=5=5

Возвращаемся к исходной переменной.

xx −3- 3=±5=\pm \sqrt{5}

Учитываем оба знака квадратного корня.

xx=3±5=3\pm \sqrt{5}

Переносим постоянное слагаемое.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=3=3 −5:0- \sqrt{5}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=5=\sqrt{5} +3:0+ 3:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{3−5;  5+3}x\in\{3 - \sqrt{5};\;\sqrt{5} + 3\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначить квадрат скобки через t и записать t≥0.
  2. Решить квадратное уравнение по t.
  3. Исключить отрицательные значения t.
  4. Вернуться к x, учитывая оба знака корня.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если t=u², то u⁴=t² и t≥0.
  • Из u²=c при c>0 получаем u=±√c.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не оставить отрицательное значение t, ведь t — квадрат.
  • Не забыть второй знак при извлечении корня.
  • Не терять сдвиг внутри скобки при возвращении к x.
Все задания №20 (200)