Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ EDFB3F185 из 200

Биквадратное уравнение со сдвигом

Решите уравнение ( x−1 ) 4  −2 ( x−1 ) 2  −3=0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EDFB3F.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Введём замену:

t=(x−1)2,t≥0\displaystyle t=(x - 1)^2,\quad t\geq0

Решаем:

t2−2t−3=0;\displaystyle t^{2} - 2 t - 3=0;D=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16;\displaystyle D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16;t1=−1,t2=3\displaystyle t_{1}=-1,\quad t_{2}=3

Учитываем ограничение t≥0:

t=−1<0;\displaystyle t=-1 <0;t=3≥0\displaystyle t=3\geq0

Возвращаемся к x:

(x−1)2=3;\displaystyle (x - 1)^2=3;x−1=±3;\displaystyle x - 1=\pm \sqrt{3};x=1±3\displaystyle x=1\pm \sqrt{3}
Ответ:1−3;  1+3\displaystyle 1 - \sqrt{3};\;1 + \sqrt{3}

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

Повторяется одна и та же скобка во второй и четвёртой степени. Замена её квадрата превращает задачу в квадратное уравнение.

Уравнение
(x−1)4−2(x−1)2−3=0{(x-1)}^{4}-2{(x-1)}^{2}-3=0
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Заменяем повторяющийся квадрат

Пусть t=(x−1)2t=(x - 1)^2. Это квадрат действительного числа, поэтому t≥0t\geq0. Четвёртая степень равна t2t^2.

tt=(x−1)2,t≥0=(x - 1)^2,\quad t\geq0

Ограничение на новую переменную обязательно.

t2t^{2} −2t- 2 t −3- 3=0=0

Переписываем уравнение через t.

Решаем квадратное уравнение по t

Сравниваем уравнение с видом at2+bt+c=0at^2+bt+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

t2t^{2} −2t- 2 t −3- 3=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−2,c=-2,\quad c=−3=-3

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−2)2=(-2)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−3)\cdot(-3)=16=16

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=4=4

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

t1t_{1}=−(−2)−42⋅1=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=−1=-1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

t2t_{2}=−(−2)+42⋅1=\frac{-(-2)+4}{2\cdot1}=3=3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Отбираем неотрицательные значения t

Новая переменная обозначает квадрат, поэтому проверяем знак каждого её значения.

tt=−1<0=-1 <0

Отрицательное значение квадрат принять не может: исключаем.

tt=3≥0=3\geq0

Это значение новой переменной допустимо.

Находим x из оставшегося квадрата

Для положительного значения квадрата существуют два возможных значения выражения в скобках.

(x−1)2(x - 1)^2=3=3

Возвращаемся к исходной переменной.

xx −1- 1=±3=\pm \sqrt{3}

Учитываем оба знака квадратного корня.

xx=1±3=1\pm \sqrt{3}

Переносим постоянное слагаемое.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=1=1 −3:0- \sqrt{3}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=1=1 +3:0+ \sqrt{3}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{1−3;  1+3}x\in\{1 - \sqrt{3};\;1 + \sqrt{3}\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначить квадрат скобки через t и записать t≥0.
  2. Решить квадратное уравнение по t.
  3. Исключить отрицательные значения t.
  4. Вернуться к x, учитывая оба знака корня.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если t=u², то u⁴=t² и t≥0.
  • Из u²=c при c>0 получаем u=±√c.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не оставить отрицательное значение t, ведь t — квадрат.
  • Не забыть второй знак при извлечении корня.
  • Не терять сдвиг внутри скобки при возвращении к x.
Все задания №20 (200)