Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ AF0F2A121 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений { 5 x 2  −9x=y, 5x−9=y.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание AF0F2A.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

5x2−9x=5x−9\displaystyle 5 x^{2} - 9 x=5 x - 9

Решаем полученное уравнение:

5x2−14x+9=0;\displaystyle 5 x^{2} - 14 x + 9=0;D=(−14)2−4⋅5⋅9=16;\displaystyle D=(-14)^2-4\cdot5\cdot9=16;x1=1,x2=95\displaystyle x_{1}=1,\quad x_{2}=\frac{9}{5}

При x=1x=1:

y=5(1)−9=−4\displaystyle y=5 (1) - 9=-4

При x=95x=\dfrac{9}{5}:

y=5(95)−9=0\displaystyle y=5 (\frac{9}{5}) - 9=0
Ответ:(1;  −4);(95;  0)\displaystyle (1;\;-4);\quad (\frac{9}{5};\;0)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система
{5x2−9x=y5x−9=y.\begin{cases}5{x}^{2}-9x=y\\5x-9=y.\end{cases}
Ищем
Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной yy. Поэтому они равны друг другу.

5x25 x^{2} −9x- 9 x=5x=5 x −9- 9

Исключаем y.

5x25 x^{2} −14x- 14 x +9+ 9=0=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

5x25 x^{2} −14x- 14 x +9+ 9=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=5,b=5,\quad b=−14,c=-14,\quad c=9=9

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−14)2=(-14)^2−4-4⋅5\cdot5⋅9\cdot9=16=16

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=4=4

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−14)−42⋅5=\frac{-(-14)-4}{2\cdot5}=1=1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−14)+42⋅5=\frac{-(-14)+4}{2\cdot5}=95=\frac{9}{5}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=1

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=5(1)=5 (1) −9- 9=−4=-4

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (1;  −4)(1;\;-4).

Находим y для значения x=\frac{9}{5}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=5(95)=5 (\frac{9}{5}) −9- 9=0=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (95;  0)(\dfrac{9}{5};\;0).

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

5(1)25 (1)^{2} −9(1)- 9 (1)=−4=-4

Пара (1;  −4)(1;\;-4), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна −4-4.

5(1)5 (1) −9- 9=−4=-4

Пара (1;  −4)(1;\;-4), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна −4-4.

5(95)25 (\frac{9}{5})^{2} −9(95)- 9 (\frac{9}{5})=0=0

Пара (95;  0)(\dfrac{9}{5};\;0), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 00.

5(95)5 (\frac{9}{5}) −9- 9=0=0

Пара (95;  0)(\dfrac{9}{5};\;0), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 00.

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(1;  −4);(95;  0)(1;\;-4);\quad (\frac{9}{5};\;0)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять два выражения для y.
  2. Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
  3. Для каждого x отдельно вычислить y.
  4. Записать пары и проверить обе строки системы.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если A=y и B=y, то A=B.
  • Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
  • При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
  • Не останавливаться на найденных x.
Все задания №20 (200)