ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 73642221 из 200

Дробное неравенство: перенос и общий знаменатель

Решите неравенство $\dfrac{x^2}{x-7}\leq x$ .

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 736422.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

\displaystyle x\ne 7

Перенесём x и объединим дроби:

\displaystyle \frac{x^2}{x-7}\leq x

⇔

\displaystyle \frac{x^2-x(x-7)}{x-7}\leq0

⇔

\displaystyle \frac{7 x}{x - 7}\leq0

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем $7$ по ОДЗ. Включаем $0$ : неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: 0 (включена), 7 (исключена). — Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.

Ответ:

\displaystyle [0;\;7)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Перенесём x влево и запишем всё одной дробью. Затем сравним знаки её числителя и знаменателя.

Неравенство: $\dfrac{x^2}{x-7}\leq x$
Область допустимых значений: $x\ne 7$

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x\ne 7

Записываем область допустимых значений.

Переносим x и приводим к общему знаменателю

Вычтем x из обеих частей. Чтобы объединить слагаемые в одну дробь, представим $x$ с тем же знаменателем $x - 7$ .

\frac{x^2}{x-7}

-x\leq0

Переносим всё влево.

\frac{x^2-x(x-7)}{x-7}\leq0

Общий знаменатель x−7.

x^2

-x(x-7)

=x^2

-x^2

+7x

=7x

Раскрываем скобки со знаком минус.

\frac{7 x}{x - 7}\leq0

Получилось неравенство с линейными числителем и знаменателем.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

x

=0

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

x

=7

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через $f(x)$ левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(-1)

=\frac{7}{8}>0

Для промежутка $(-\infty;\;0)$ берём $x=-1$ . Этот знак не подходит.

f(1)

=- \frac{7}{6}<0

Для промежутка $(0;\;7)$ берём $x=1$ . Этот знак подходит.

f(8)

=56>0

Для промежутка $(7;\;\infty)$ берём $x=8$ . Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x\in [0;\;7)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определить область допустимых значений.
Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Знаменатель дроби не может равняться нулю.
При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
Знак $\cup$ объединяет множества решений.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
Не чередовать знаки без проверки кратности корня.

Все задания №20 (200)