Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ D24A93151 из 200

Квадратное неравенство с корнем в коэффициенте

Решите неравенство ( x−1 ) 2  < 2 ( x−1 ) .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D24A93.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Переносим и выносим общий множитель:

(x−1)(x−1−2)<0\displaystyle (x - 1)(x - 1-\sqrt{2})<0

Нули множителей:

x=1;x=1+2\displaystyle x=1;\quad x=1 + \sqrt{2}

Решаем методом интервалов (см. схему). Нули числителя исключаем: неравенство строгое.

Метод интервалов. Граничные точки: 1 (исключена), 1+√2 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(1;  1+2)\displaystyle (1;\;1 + \sqrt{2})

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Вынесем общий множитель и найдём два граничных значения. Произведение двух линейных множителей будет отрицательным между ними.

Неравенство
(x−1)2<2(x−1){(x-1)}^{2}<\sqrt{2}(x-1)
Область допустимых значений
x∈Rx\in\mathbb{R}

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x∈Rx\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Переносим всё влево и выносим скобку

Вычитаем правую часть из обеих частей. Оба слагаемых содержат x−1x - 1, поэтому выносим это выражение за скобки.

(x−1)2(x - 1)^2−2(x−1)<0-\sqrt{2}(x - 1)<0

Всё выражение слева.

(x−1)(x−1−2)<0(x - 1)(x - 1-\sqrt{2})<0

Выносим общий множитель, сохраняя все случаи.

Находим границы промежутков

Каждая скобка равна нулю в одной точке. Эти числа делят прямую на три промежутка.

xx −1- 1=0⇒x=0\quad\Rightarrow\quad x=1=1

Нуль первой скобки.

xx −1- 1−2-\sqrt{2}=0=0

Нуль второй скобки.

xx=1=1 +2+ \sqrt{2}

Переносим постоянные слагаемые вправо.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=1=1

Ноль числителя: исключаем точку, так как неравенство строгое.

xx=1=1 +2+ \sqrt{2}

Ноль числителя: исключаем точку, так как неравенство строгое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(0)f(0)=1=1 +2>0+ \sqrt{2}>0

Для промежутка (−∞;  1)(-\infty;\;1) берём x=0x=0. Этот знак не подходит.

f(2)f(2)=1=1 −2<0- \sqrt{2}<0

Для промежутка (1;  1+2)(1;\;1 + \sqrt{2}) берём x=2x=2. Этот знак подходит.

f(4)f(4)=9=9 −32>0- 3 \sqrt{2}>0

Для промежутка (1+2;  ∞)(1 + \sqrt{2};\;\infty) берём x=4x=4. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 1 (исключена), 1+√2 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Незакрашенная точка не входит в решение.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(1;  1+2)x\in (1;\;1 + \sqrt{2})

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)