Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ EC6ABC104 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений { 4 x 2  −3x=y, 8x−6=y.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EC6ABC.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

4x2−3x=8x−6\displaystyle 4 x^{2} - 3 x=8 x - 6

Решаем полученное уравнение:

4x2−11x+6=0;\displaystyle 4 x^{2} - 11 x + 6=0;D=(−11)2−4⋅4⋅6=25;\displaystyle D=(-11)^2-4\cdot4\cdot6=25;x1=34,x2=2\displaystyle x_{1}=\frac{3}{4},\quad x_{2}=2

При x=34x=\dfrac{3}{4}:

y=8(34)−6=0\displaystyle y=8 (\frac{3}{4}) - 6=0

При x=2x=2:

y=8(2)−6=10\displaystyle y=8 (2) - 6=10
Ответ:(34;  0);(2;  10)\displaystyle (\frac{3}{4};\;0);\quad (2;\;10)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система
{4x2−3x=y8x−6=y.\begin{cases}4{x}^{2}-3x=y\\8x-6=y.\end{cases}
Ищем
Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной yy. Поэтому они равны друг другу.

4x24 x^{2} −3x- 3 x=8x=8 x −6- 6

Исключаем y.

4x24 x^{2} −11x- 11 x +6+ 6=0=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

4x24 x^{2} −11x- 11 x +6+ 6=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=4,b=4,\quad b=−11,c=-11,\quad c=6=6

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−11)2=(-11)^2−4-4⋅4\cdot4⋅6\cdot6=25=25

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=5=5

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−11)−52⋅4=\frac{-(-11)-5}{2\cdot4}=34=\frac{3}{4}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−11)+52⋅4=\frac{-(-11)+5}{2\cdot4}=2=2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=\frac{3}{4}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=8(34)=8 (\frac{3}{4}) −6- 6=0=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (34;  0)(\dfrac{3}{4};\;0).

Находим y для значения x=2

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=8(2)=8 (2) −6- 6=10=10

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (2;  10)(2;\;10).

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

4(34)24 (\frac{3}{4})^{2} −3(34)- 3 (\frac{3}{4})=0=0

Пара (34;  0)(\dfrac{3}{4};\;0), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 00.

8(34)8 (\frac{3}{4}) −6- 6=0=0

Пара (34;  0)(\dfrac{3}{4};\;0), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 00.

4(2)24 (2)^{2} −3(2)- 3 (2)=10=10

Пара (2;  10)(2;\;10), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 1010.

8(2)8 (2) −6- 6=10=10

Пара (2;  10)(2;\;10), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 1010.

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(34;  0);(2;  10)(\frac{3}{4};\;0);\quad (2;\;10)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять два выражения для y.
  2. Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
  3. Для каждого x отдельно вычислить y.
  4. Записать пары и проверить обе строки системы.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если A=y и B=y, то A=B.
  • Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
  • При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
  • Не останавливаться на найденных x.
Все задания №20 (200)