Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 41D97090 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 14 ( x−5 ) 2  −2 ≥0.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 41D970.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠5−2,x≠2+5\displaystyle x\ne 5 - \sqrt{2},\quad x\ne \sqrt{2} + 5

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x−5)2−2<0\displaystyle (x - 5)^{2} - 2<0⇔(x−5)2<2\displaystyle (x - 5)^2<2⇔−2<x−5<2\displaystyle -\sqrt{2}<x - 5<\sqrt{2}⇔5−2<x<2+5\displaystyle 5 - \sqrt{2}<x<\sqrt{2} + 5

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем 5−2,  2+55 - \sqrt{2},\;\sqrt{2} + 5 по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: 5−√2 (исключена), √2+5 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(5−2;  2+5)\displaystyle (5 - \sqrt{2};\;\sqrt{2} + 5)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−14(x−5)2−2≥0\dfrac{-14}{{(x-5)}^{2}-2}\geq0
Область допустимых значений
x≠5−2,x≠2+5x\ne 5 - \sqrt{2},\quad x\ne \sqrt{2} + 5

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠5x\ne 5 −2,x≠2- \sqrt{2},\quad x\ne \sqrt{2} +5+ 5

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −14-14, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x−5)2(x - 5)^{2} −2<0- 2<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 22 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 22, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x−5)2<2(x - 5)^2<2

Переносим постоянное слагаемое.

−2<x-\sqrt{2}<x −5<2- 5<\sqrt{2}

Получаем строгое двойное неравенство.

55 −2<x<2- \sqrt{2}<x<\sqrt{2} +5+ 5

Прибавляем 5 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=5=5 −2- \sqrt{2}

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=2=\sqrt{2} +5+ 5

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(2)f(2)=−2<0=-2<0

Для промежутка (−∞;  5−2)(-\infty;\;5 - \sqrt{2}) берём x=2x=2. Этот знак не подходит.

f(4)f(4)=14>0=14>0

Для промежутка (5−2;  2+5)(5 - \sqrt{2};\;\sqrt{2} + 5) берём x=4x=4. Этот знак подходит.

f(8)f(8)=−2<0=-2<0

Для промежутка (2+5;  ∞)(\sqrt{2} + 5;\;\infty) берём x=8x=8. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 5−√2 (исключена), √2+5 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(5−2;  2+5)x\in (5 - \sqrt{2};\;\sqrt{2} + 5)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)