Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 0982C037 из 200

Неравенство: произведение квадратных трёхчленов

Решите неравенство (x2+x−20)(x2−10x+24)≥0(x^{2} + x - 20)(x^{2} - 10 x + 24)\geq0.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0982C0.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Разложим на множители:

x2+x−20=(x−4)(x+5);\displaystyle x^{2} + x - 20=(x - 4) (x + 5);x2−10x+24=(x−6)(x−4)\displaystyle x^{2} - 10 x + 24=(x - 6) (x - 4)

Исходное неравенство равносильно

(x−6)(x−4)2(x+5)≥0\displaystyle (x - 6) (x - 4)^{2} (x + 5)\geq0

Решаем методом интервалов (см. схему). В точке x=4x=4 корень кратности 2, поэтому знак не меняется. Включаем −5,  4,  6-5,\;4,\;6: неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: -5 (включена), 4 (включена), 6 (включена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−∞;  −5]∪{4}∪[6;  ∞)\displaystyle (-\infty;\;-5]\cup\{4\}\cup[6;\;\infty)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Разложим многочлены на линейные множители. Отметим их нули и определим знак произведения на каждом промежутке.

Неравенство
(x2+x−20)(x2−10x+24)≥0(x^{2} + x - 20)(x^{2} - 10 x + 24)\geq0
Область допустимых значений
x∈Rx\in\mathbb{R}

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x∈Rx\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Находим корни трёхчлена 1

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} +x+ x −20- 20=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=1,c=1,\quad c=−20=-20

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=12=1^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−20)\cdot(-20)=81=81

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=9=9

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−1−92⋅1=\frac{-1-9}{2\cdot1}=−5=-5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−1+92⋅1=\frac{-1+9}{2\cdot1}=4=4

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим корни трёхчлена 2

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −10x- 10 x +24+ 24=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−10,c=-10,\quad c=24=24

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−10)2=(-10)^2−4-4⋅1\cdot1⋅24\cdot24=4=4

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=2=2

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−10)−22⋅1=\frac{-(-10)-2}{2\cdot1}=4=4

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−10)+22⋅1=\frac{-(-10)+2}{2\cdot1}=6=6

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Собираем разложение всего выражения

Подставляем найденные множители в исходное неравенство. Повторяющиеся множители собираем в степени.

x2x^{2} +x+ x −20- 20=(x−4)(x+5)=(x - 4) (x + 5)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

x2x^{2} −10x- 10 x +24+ 24=(x−6)(x−4)=(x - 6) (x - 4)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

(x−6)(x−4)2(x+5)≥0(x - 6) (x - 4)^{2} (x + 5)\geq0

Полностью разложенная левая часть.

У множителя чётной степени знак при прохождении через его нуль не меняется. Но сам нуль может войти в ответ, если неравенство нестрогое.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−5=-5

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=4=4

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=6=6

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−6)f(-6)=1200>0=1200>0

Для промежутка (−∞;  −5)(-\infty;\;-5) берём x=−6x=-6. Этот знак подходит.

f(−4)f(-4)=−640<0=-640<0

Для промежутка (−5;  4)(-5;\;4) берём x=−4x=-4. Этот знак не подходит.

f(5)f(5)=−10<0=-10<0

Для промежутка (4;  6)(4;\;6) берём x=5x=5. Этот знак не подходит.

f(7)f(7)=108>0=108>0

Для промежутка (6;  ∞)(6;\;\infty) берём x=7x=7. Этот знак подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: -5 (включена), 4 (включена), 6 (включена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Незакрашенная точка не входит в решение.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−∞;  −5]∪{4}∪[6;  ∞)x\in (-\infty;\;-5]\cup\{4\}\cup[6;\;\infty)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)