Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 8E6FA9142 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений { 3 x 2  −4x=y, 3x−4=y.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 8E6FA9.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

3x2−4x=3x−4\displaystyle 3 x^{2} - 4 x=3 x - 4

Решаем полученное уравнение:

3x2−7x+4=0;\displaystyle 3 x^{2} - 7 x + 4=0;D=(−7)2−4⋅3⋅4=1;\displaystyle D=(-7)^2-4\cdot3\cdot4=1;x1=1,x2=43\displaystyle x_{1}=1,\quad x_{2}=\frac{4}{3}

При x=1x=1:

y=3(1)−4=−1\displaystyle y=3 (1) - 4=-1

При x=43x=\dfrac{4}{3}:

y=3(43)−4=0\displaystyle y=3 (\frac{4}{3}) - 4=0
Ответ:(1;  −1);(43;  0)\displaystyle (1;\;-1);\quad (\frac{4}{3};\;0)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система
{3x2−4x=y3x−4=y.\begin{cases}3{x}^{2}-4x=y\\3x-4=y.\end{cases}
Ищем
Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной yy. Поэтому они равны друг другу.

3x23 x^{2} −4x- 4 x=3x=3 x −4- 4

Исключаем y.

3x23 x^{2} −7x- 7 x +4+ 4=0=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

3x23 x^{2} −7x- 7 x +4+ 4=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=3,b=3,\quad b=−7,c=-7,\quad c=4=4

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−7)2=(-7)^2−4-4⋅3\cdot3⋅4\cdot4=1=1

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=1=1

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−7)−12⋅3=\frac{-(-7)-1}{2\cdot3}=1=1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−7)+12⋅3=\frac{-(-7)+1}{2\cdot3}=43=\frac{4}{3}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=1

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=3(1)=3 (1) −4- 4=−1=-1

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (1;  −1)(1;\;-1).

Находим y для значения x=\frac{4}{3}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=3(43)=3 (\frac{4}{3}) −4- 4=0=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (43;  0)(\dfrac{4}{3};\;0).

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

3(1)23 (1)^{2} −4(1)- 4 (1)=−1=-1

Пара (1;  −1)(1;\;-1), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна −1-1.

3(1)3 (1) −4- 4=−1=-1

Пара (1;  −1)(1;\;-1), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна −1-1.

3(43)23 (\frac{4}{3})^{2} −4(43)- 4 (\frac{4}{3})=0=0

Пара (43;  0)(\dfrac{4}{3};\;0), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 00.

3(43)3 (\frac{4}{3}) −4- 4=0=0

Пара (43;  0)(\dfrac{4}{3};\;0), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 00.

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(1;  −1);(43;  0)(1;\;-1);\quad (\frac{4}{3};\;0)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять два выражения для y.
  2. Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
  3. Для каждого x отдельно вычислить y.
  4. Записать пары и проверить обе строки системы.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если A=y и B=y, то A=B.
  • Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
  • При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
  • Не останавливаться на найденных x.
Все задания №20 (200)