Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 11158356 из 200

Дробное неравенство: исключённая точка после сокращения

Решите неравенство x2−8x+15x−3≤0\dfrac{x^{2} - 8 x + 15}{x-3}\leq0.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 111583.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠3\displaystyle x\ne 3

При указанном ограничении раскладываем числитель и сокращаем общий множитель:

x2−8x+15=(x−3)(x−5);\displaystyle x^{2} - 8 x + 15=(x-3)(x-5);(x−3)(x−5)x−3≤0\displaystyle \frac{(x-3)(x-5)}{x-3}\leq0⇔x−5≤0\displaystyle x-5\leq0⇔x≤5,x≠3\displaystyle x\leq5,\quad x\ne3

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем 33 по ОДЗ. Включаем 55: неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: 3 (исключена), 5 (включена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−∞;  3)∪(3;  5]\displaystyle (-\infty;\;3)\cup(3;\;5]

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

После сокращения дробь станет линейным выражением. Сохраним ограничение исходного знаменателя и удалим запрещённую точку из ответа.

Неравенство
x2−8x+15x−3≤0\dfrac{x^{2} - 8 x + 15}{x-3}\leq0
Область допустимых значений
x≠3x\ne 3

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠3x\ne 3

Записываем область допустимых значений.

Находим множители числителя

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −8x- 8 x +15+ 15=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−8,c=-8,\quad c=15=15

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−8)2=(-8)^2−4-4⋅1\cdot1⋅15\cdot15=4=4

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=2=2

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−8)−22⋅1=\frac{-(-8)-2}{2\cdot1}=3=3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−8)+22⋅1=\frac{-(-8)+2}{2\cdot1}=5=5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Сокращаем общий множитель и сохраняем запрет

При x≠3x\ne 3 можно сократить одинаковый множитель. Но точка x=3x=3 остаётся запрещённой в исходной дроби.

x2x^{2} −8x- 8 x +15+ 15=(x−3)(x−5)=(x-3)(x-5)

Разложение квадратного трёхчлена.

(x−3)(x−5)x−3\frac{(x-3)(x-5)}{x-3}=x=x−5-5

Сокращение допустимо только при ненулевом x−3.

xx−5≤0-5\leq0

Остаётся линейное неравенство.

x≤5,x≠3x\leq 5,\quad x\ne 3

Переносим 5 вправо и сохраняем исключённую точку.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=3=3

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=5=5

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(2)f(2)=−3<0=-3<0

Для промежутка (−∞;  3)(-\infty;\;3) берём x=2x=2. Этот знак подходит.

f(4)f(4)=−1<0=-1<0

Для промежутка (3;  5)(3;\;5) берём x=4x=4. Этот знак подходит.

f(6)f(6)=1>0=1>0

Для промежутка (5;  ∞)(5;\;\infty) берём x=6x=6. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 3 (исключена), 5 (включена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−∞;  3)∪(3;  5]x\in (-\infty;\;3)\cup(3;\;5]

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)