Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 6F56B016 из 200

Неравенство: произведение квадратных трёхчленов

Решите неравенство (x2−4x−21)(x2−9x+14)≤0(x^{2} - 4 x - 21)(x^{2} - 9 x + 14)\leq0.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6F56B0.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Разложим на множители:

x2−4x−21=(x−7)(x+3);\displaystyle x^{2} - 4 x - 21=(x - 7) (x + 3);x2−9x+14=(x−7)(x−2)\displaystyle x^{2} - 9 x + 14=(x - 7) (x - 2)

Исходное неравенство равносильно

(x−7)2(x−2)(x+3)≤0\displaystyle (x - 7)^{2} (x - 2) (x + 3)\leq0

Решаем методом интервалов (см. схему). В точке x=7x=7 корень кратности 2, поэтому знак не меняется. Включаем −3,  2,  7-3,\;2,\;7: неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: -3 (включена), 2 (включена), 7 (включена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:[−3;  2]∪{7}\displaystyle [-3;\;2]\cup\{7\}

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Разложим многочлены на линейные множители. Отметим их нули и определим знак произведения на каждом промежутке.

Неравенство
(x2−4x−21)(x2−9x+14)≤0(x^{2} - 4 x - 21)(x^{2} - 9 x + 14)\leq0
Область допустимых значений
x∈Rx\in\mathbb{R}

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x∈Rx\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Находим корни трёхчлена 1

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −4x- 4 x −21- 21=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−4,c=-4,\quad c=−21=-21

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−4)2=(-4)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−21)\cdot(-21)=100=100

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=10=10

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−4)−102⋅1=\frac{-(-4)-10}{2\cdot1}=−3=-3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−4)+102⋅1=\frac{-(-4)+10}{2\cdot1}=7=7

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим корни трёхчлена 2

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −9x- 9 x +14+ 14=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−9,c=-9,\quad c=14=14

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−9)2=(-9)^2−4-4⋅1\cdot1⋅14\cdot14=25=25

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=5=5

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−9)−52⋅1=\frac{-(-9)-5}{2\cdot1}=2=2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−9)+52⋅1=\frac{-(-9)+5}{2\cdot1}=7=7

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Собираем разложение всего выражения

Подставляем найденные множители в исходное неравенство. Повторяющиеся множители собираем в степени.

x2x^{2} −4x- 4 x −21- 21=(x−7)(x+3)=(x - 7) (x + 3)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

x2x^{2} −9x- 9 x +14+ 14=(x−7)(x−2)=(x - 7) (x - 2)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

(x−7)2(x−2)(x+3)≤0(x - 7)^{2} (x - 2) (x + 3)\leq0

Полностью разложенная левая часть.

У множителя чётной степени знак при прохождении через его нуль не меняется. Но сам нуль может войти в ответ, если неравенство нестрогое.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−3=-3

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=2=2

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=7=7

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−4)f(-4)=726>0=726>0

Для промежутка (−∞;  −3)(-\infty;\;-3) берём x=−4x=-4. Этот знак не подходит.

f(−2)f(-2)=−324<0=-324<0

Для промежутка (−3;  2)(-3;\;2) берём x=−2x=-2. Этот знак подходит.

f(3)f(3)=96>0=96>0

Для промежутка (2;  7)(2;\;7) берём x=3x=3. Этот знак не подходит.

f(8)f(8)=66>0=66>0

Для промежутка (7;  ∞)(7;\;\infty) берём x=8x=8. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: -3 (включена), 2 (включена), 7 (включена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Незакрашенная точка не входит в решение.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈[x\in [−3;  2]∪{7}-3;\;2]\cup\{7\}

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)