Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 131EDB130 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 12 ( x−1 ) 2  −2 ≥0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 131EDB.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠1−2,x≠1+2\displaystyle x\ne 1 - \sqrt{2},\quad x\ne 1 + \sqrt{2}

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x−1)2−2<0\displaystyle (x - 1)^{2} - 2<0⇔(x−1)2<2\displaystyle (x - 1)^2<2⇔−2<x−1<2\displaystyle -\sqrt{2}<x - 1<\sqrt{2}⇔1−2<x<1+2\displaystyle 1 - \sqrt{2}<x<1 + \sqrt{2}

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем 1−2,  1+21 - \sqrt{2},\;1 + \sqrt{2} по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: 1−√2 (исключена), 1+√2 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(1−2;  1+2)\displaystyle (1 - \sqrt{2};\;1 + \sqrt{2})

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−12(x−1)2−2≥0\dfrac{-12}{{(x-1)}^{2}-2}\geq0
Область допустимых значений
x≠1−2,x≠1+2x\ne 1 - \sqrt{2},\quad x\ne 1 + \sqrt{2}

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠1x\ne 1 −2,x≠1- \sqrt{2},\quad x\ne 1 +2+ \sqrt{2}

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −12-12, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x−1)2(x - 1)^{2} −2<0- 2<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 22 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 22, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x−1)2<2(x - 1)^2<2

Переносим постоянное слагаемое.

−2<x-\sqrt{2}<x −1<2- 1<\sqrt{2}

Получаем строгое двойное неравенство.

11 −2<x<1- \sqrt{2}<x<1 +2+ \sqrt{2}

Прибавляем 1 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=1=1 −2- \sqrt{2}

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=1=1 +2+ \sqrt{2}

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−2)f(-2)=−127<0=- \frac{12}{7}<0

Для промежутка (−∞;  1−2)(-\infty;\;1 - \sqrt{2}) берём x=−2x=-2. Этот знак не подходит.

f(0)f(0)=12>0=12>0

Для промежутка (1−2;  1+2)(1 - \sqrt{2};\;1 + \sqrt{2}) берём x=0x=0. Этот знак подходит.

f(4)f(4)=−127<0=- \frac{12}{7}<0

Для промежутка (1+2;  ∞)(1 + \sqrt{2};\;\infty) берём x=4x=4. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 1−√2 (исключена), 1+√2 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(1−2;  1+2)x\in (1 - \sqrt{2};\;1 + \sqrt{2})

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)