Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ E7C13F52 из 200

Неравенство: произведение квадратных трёхчленов

Решите неравенство (x2−3x−10)(x2−8x+15)≤0(x^{2} - 3 x - 10)(x^{2} - 8 x + 15)\leq0.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E7C13F.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Разложим на множители:

x2−3x−10=(x−5)(x+2);\displaystyle x^{2} - 3 x - 10=(x - 5) (x + 2);x2−8x+15=(x−5)(x−3)\displaystyle x^{2} - 8 x + 15=(x - 5) (x - 3)

Исходное неравенство равносильно

(x−5)2(x−3)(x+2)≤0\displaystyle (x - 5)^{2} (x - 3) (x + 2)\leq0

Решаем методом интервалов (см. схему). В точке x=5x=5 корень кратности 2, поэтому знак не меняется. Включаем −2,  3,  5-2,\;3,\;5: неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: -2 (включена), 3 (включена), 5 (включена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:[−2;  3]∪{5}\displaystyle [-2;\;3]\cup\{5\}

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Разложим многочлены на линейные множители. Отметим их нули и определим знак произведения на каждом промежутке.

Неравенство
(x2−3x−10)(x2−8x+15)≤0(x^{2} - 3 x - 10)(x^{2} - 8 x + 15)\leq0
Область допустимых значений
x∈Rx\in\mathbb{R}

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x∈Rx\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Находим корни трёхчлена 1

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −3x- 3 x −10- 10=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−3,c=-3,\quad c=−10=-10

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−3)2=(-3)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−10)\cdot(-10)=49=49

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=7=7

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−3)−72⋅1=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=−2=-2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−3)+72⋅1=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=5=5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим корни трёхчлена 2

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −8x- 8 x +15+ 15=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−8,c=-8,\quad c=15=15

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−8)2=(-8)^2−4-4⋅1\cdot1⋅15\cdot15=4=4

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=2=2

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−8)−22⋅1=\frac{-(-8)-2}{2\cdot1}=3=3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−8)+22⋅1=\frac{-(-8)+2}{2\cdot1}=5=5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Собираем разложение всего выражения

Подставляем найденные множители в исходное неравенство. Повторяющиеся множители собираем в степени.

x2x^{2} −3x- 3 x −10- 10=(x−5)(x+2)=(x - 5) (x + 2)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

x2x^{2} −8x- 8 x +15+ 15=(x−5)(x−3)=(x - 5) (x - 3)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

(x−5)2(x−3)(x+2)≤0(x - 5)^{2} (x - 3) (x + 2)\leq0

Полностью разложенная левая часть.

У множителя чётной степени знак при прохождении через его нуль не меняется. Но сам нуль может войти в ответ, если неравенство нестрогое.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−2=-2

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=3=3

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=5=5

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−3)f(-3)=384>0=384>0

Для промежутка (−∞;  −2)(-\infty;\;-2) берём x=−3x=-3. Этот знак не подходит.

f(−1)f(-1)=−144<0=-144<0

Для промежутка (−2;  3)(-2;\;3) берём x=−1x=-1. Этот знак подходит.

f(4)f(4)=6>0=6>0

Для промежутка (3;  5)(3;\;5) берём x=4x=4. Этот знак не подходит.

f(6)f(6)=24>0=24>0

Для промежутка (5;  ∞)(5;\;\infty) берём x=6x=6. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: -2 (включена), 3 (включена), 5 (включена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Незакрашенная точка не входит в решение.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈[x\in [−2;  3]∪{5}-2;\;3]\cup\{5\}

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)