Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ C62D4864 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 10 ( x−3 ) 2  −5 ≥0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание C62D48.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠3−5,x≠5+3\displaystyle x\ne 3 - \sqrt{5},\quad x\ne \sqrt{5} + 3

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x−3)2−5<0\displaystyle (x - 3)^{2} - 5<0⇔(x−3)2<5\displaystyle (x - 3)^2<5⇔−5<x−3<5\displaystyle -\sqrt{5}<x - 3<\sqrt{5}⇔3−5<x<5+3\displaystyle 3 - \sqrt{5}<x<\sqrt{5} + 3

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем 3−5,  5+33 - \sqrt{5},\;\sqrt{5} + 3 по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: 3−√5 (исключена), √5+3 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(3−5;  5+3)\displaystyle (3 - \sqrt{5};\;\sqrt{5} + 3)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−10(x−3)2−5≥0\dfrac{-10}{{(x-3)}^{2}-5}\geq0
Область допустимых значений
x≠3−5,x≠5+3x\ne 3 - \sqrt{5},\quad x\ne \sqrt{5} + 3

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠3x\ne 3 −5,x≠5- \sqrt{5},\quad x\ne \sqrt{5} +3+ 3

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −10-10, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x−3)2(x - 3)^{2} −5<0- 5<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 55 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 55, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x−3)2<5(x - 3)^2<5

Переносим постоянное слагаемое.

−5<x-\sqrt{5}<x −3<5- 3<\sqrt{5}

Получаем строгое двойное неравенство.

33 −5<x<5- \sqrt{5}<x<\sqrt{5} +3+ 3

Прибавляем 3 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=3=3 −5- \sqrt{5}

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=5=\sqrt{5} +3+ 3

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−1)f(-1)=−1011<0=- \frac{10}{11}<0

Для промежутка (−∞;  3−5)(-\infty;\;3 - \sqrt{5}) берём x=−1x=-1. Этот знак не подходит.

f(1)f(1)=10>0=10>0

Для промежутка (3−5;  5+3)(3 - \sqrt{5};\;\sqrt{5} + 3) берём x=1x=1. Этот знак подходит.

f(7)f(7)=−1011<0=- \frac{10}{11}<0

Для промежутка (5+3;  ∞)(\sqrt{5} + 3;\;\infty) берём x=7x=7. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 3−√5 (исключена), √5+3 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(3−5;  5+3)x\in (3 - \sqrt{5};\;\sqrt{5} + 3)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)