Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 484B3D177 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 18 ( x+4 ) 2  −10 ≥0.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 484B3D.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠−4−10,x≠−4+10\displaystyle x\ne -4 - \sqrt{10},\quad x\ne -4 + \sqrt{10}

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x+4)2−10<0\displaystyle (x + 4)^{2} - 10<0⇔(x+4)2<10\displaystyle (x + 4)^2<10⇔−10<x+4<10\displaystyle -\sqrt{10}<x + 4<\sqrt{10}⇔−4−10<x<−4+10\displaystyle -4 - \sqrt{10}<x<-4 + \sqrt{10}

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем −4−10,  −4+10-4 - \sqrt{10},\;-4 + \sqrt{10} по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: −4−√10 (исключена), −4+√10 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−4−10;  −4+10)\displaystyle (-4 - \sqrt{10};\;-4 + \sqrt{10})

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−18(x+4)2−10≥0\dfrac{-18}{{(x+4)}^{2}-10}\geq0
Область допустимых значений
x≠−4−10,x≠−4+10x\ne -4 - \sqrt{10},\quad x\ne -4 + \sqrt{10}

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠x\ne −4-4 −10,x≠- \sqrt{10},\quad x\ne −4-4 +10+ \sqrt{10}

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −18-18, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x+4)2(x + 4)^{2} −10<0- 10<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 1010 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 1010, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x+4)2<10(x + 4)^2<10

Переносим постоянное слагаемое.

−10<x-\sqrt{10}<x +4<10+ 4<\sqrt{10}

Получаем строгое двойное неравенство.

−4-4 −10<x<- \sqrt{10}<x<−4-4 +10+ \sqrt{10}

Прибавляем -4 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−4=-4 −10- \sqrt{10}

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=−4=-4 +10+ \sqrt{10}

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−9)f(-9)=−65<0=- \frac{6}{5}<0

Для промежутка (−∞;  −4−10)(-\infty;\;-4 - \sqrt{10}) берём x=−9x=-9. Этот знак не подходит.

f(−7)f(-7)=18>0=18>0

Для промежутка (−4−10;  −4+10)(-4 - \sqrt{10};\;-4 + \sqrt{10}) берём x=−7x=-7. Этот знак подходит.

f(1)f(1)=−65<0=- \frac{6}{5}<0

Для промежутка (−4+10;  ∞)(-4 + \sqrt{10};\;\infty) берём x=1x=1. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: −4−√10 (исключена), −4+√10 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−4−10;  −4+10)x\in (-4 - \sqrt{10};\;-4 + \sqrt{10})

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)