ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ E18C3553 из 200

Неравенство с двумя обратными величинами

Решите неравенство $\dfrac{1}{x}\geq\dfrac{1}{x-4}$ .

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E18C35.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

\displaystyle x\ne 0,\quad x\ne 4

Приводим к общему знаменателю:

\displaystyle \frac{1}{x}\geq\frac{1}{x-4}

⇔

\displaystyle \frac{(x-4)-x}{x(x-4)}\geq0

⇔

\displaystyle - \frac{4}{x (x - 4)}\geq0

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем $0,\;4$ по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: 0 (исключена), 4 (исключена). — Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.

Ответ:

\displaystyle (0;\;4)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

После переноса и приведения к общему знаменателю числитель станет постоянным отрицательным числом. Знак дроби определяется знаменателем.

Неравенство: $\dfrac{1}{x}\geq\dfrac{1}{x-4}$
Область допустимых значений: $x\ne 0,\quad x\ne 4$

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x\ne 0,\quad x\ne 4

Записываем область допустимых значений.

Приводим дроби к общему знаменателю

Вычтем правую дробь из обеих частей. Общий знаменатель — произведение $x(x-4)$ .

\frac{1}{x}

-\frac{1}{x-4}\geq0

Перенесли правую часть влево.

\frac{(x-4)-x}{x(x-4)}\geq0

Первую дробь домножили на x−4, вторую — на x.

(x-4)

-x

=-4

В числителе переменные сократились.

- \frac{4}{x (x - 4)}\geq0

Числитель всегда отрицательный; учитываем знак знаменателя.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

x

=0

Ноль знаменателя: точка исключена.

x

=4

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через $f(x)$ левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(-1)

=- \frac{4}{5}<0

Для промежутка $(-\infty;\;0)$ берём $x=-1$ . Этот знак не подходит.

f(1)

=\frac{4}{3}>0

Для промежутка $(0;\;4)$ берём $x=1$ . Этот знак подходит.

f(5)

=- \frac{4}{5}<0

Для промежутка $(4;\;\infty)$ берём $x=5$ . Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x\in (0;\;4)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определить область допустимых значений.
Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Знаменатель дроби не может равняться нулю.
При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
Знак $\cup$ объединяет множества решений.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
Не чередовать знаки без проверки кратности корня.

Все задания №20 (200)