ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 11667F93 из 200

Система с пропорциональными левыми частями

Решите систему уравнений ${\begin{matrix} 5 x^{2} + y^{2} = 61, \\ 15 x^{2} + 3 y^{2} = 61 x . \end{matrix}$

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 11667F.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Левая часть второго уравнения в 3 раза больше левой части первого, поэтому

\displaystyle 3\cdot 61=61x;

\displaystyle x=3

Подставляем в первое уравнение:

\displaystyle 45+1y^2=61;

\displaystyle y^2=16;

\displaystyle y=\pm 4

Ответ:

\displaystyle (3;\;-4);\quad (3;\;4)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Вторая левая часть — кратная первой. Используем эту связь, чтобы сразу найти x, затем найдём оба значения y.

Система: $\begin{cases}5{x}^{2}+{y}^{2}=61\\15{x}^{2}+3{y}^{2}=61x.\end{cases}$
Ищем: Все пары (x;y).

Сравниваем левые части

Коэффициенты второго уравнения в 3 раза больше коэффициентов первого. Значит, его левая часть — это 3 первых левых частей.

15 x^{2}

+ 3 y^{2}

=3(5 x^{2} + y^{2})

Выносим общий множитель из второго уравнения.

5 x^{2}

+ y^{2}

=61

Это первое уравнение, которое уже дано.

Находим x без решения сложной системы

Подставляем значение всей первой левой части во вторую: вместо скобки ставим число 61.

3

\cdot 61

=61x

Приравниваем обе записи второй левой части.

x

=\frac{183}{61}

=3

Делим обе части на ненулевое число 61.

Подставляем найденный x в первое уравнение

Теперь неизвестна только переменная $y$ . Сначала вычисляем квадрат x и произведение, затем переносим число и делим.

5

\cdot 3^2

+1y^2

=61

Подставили x.

45

+1y^2

=61

Вычислили квадрат и умножили на коэффициент.

1y^2

=61

-45

=16

Перенесли известное слагаемое вправо.

y^2

=\frac{16}{1}

=16

Разделили на коэффициент при y².

y

=\pm 4

Учли оба знака.

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

5 (3)^{2}

+ (-4)^{2}

=61

Пара $(3;\;-4)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $61$ .

15 (3)^{2}

+ 3 (-4)^{2}

=183

Пара $(3;\;-4)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $183$ .

5 (3)^{2}

+ (4)^{2}

=61

Пара $(3;\;4)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $61$ .

15 (3)^{2}

+ 3 (4)^{2}

=183

Пара $(3;\;4)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $183$ .

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(3;\;-4);\quad (3;\;4)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сравнить коэффициенты при x² и y².
Заменить первую левую часть её значением во втором уравнении.
Найти x, затем y² и оба значения y.
Проверить обе пары в исходной системе.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Если A=c, то kA=kc.
Если y²>0, при извлечении корня нужно два знака.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не сокращать разные слагаемые по отдельности: сравнивать нужно всю левую часть.
Не делить y² на коэффициент до переноса остальных чисел.
Не забыть вторую пару с отрицательным y.

Все задания №20 (200)