Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 190CD6131 из 200

Квадратное неравенство с корнем в коэффициенте

Решите неравенство ( x−3 ) 2  < 5 ( x−3 ) .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 190CD6.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Переносим и выносим общий множитель:

(x−3)(x−3−5)<0\displaystyle (x - 3)(x - 3-\sqrt{5})<0

Нули множителей:

x=3;x=5+3\displaystyle x=3;\quad x=\sqrt{5} + 3

Решаем методом интервалов (см. схему). Нули числителя исключаем: неравенство строгое.

Метод интервалов. Граничные точки: 3 (исключена), √5+3 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(3;  5+3)\displaystyle (3;\;\sqrt{5} + 3)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Вынесем общий множитель и найдём два граничных значения. Произведение двух линейных множителей будет отрицательным между ними.

Неравенство
(x−3)2<5(x−3){(x-3)}^{2}<\sqrt{5}(x-3)
Область допустимых значений
x∈Rx\in\mathbb{R}

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x∈Rx\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Переносим всё влево и выносим скобку

Вычитаем правую часть из обеих частей. Оба слагаемых содержат x−3x - 3, поэтому выносим это выражение за скобки.

(x−3)2(x - 3)^2−5(x−3)<0-\sqrt{5}(x - 3)<0

Всё выражение слева.

(x−3)(x−3−5)<0(x - 3)(x - 3-\sqrt{5})<0

Выносим общий множитель, сохраняя все случаи.

Находим границы промежутков

Каждая скобка равна нулю в одной точке. Эти числа делят прямую на три промежутка.

xx −3- 3=0⇒x=0\quad\Rightarrow\quad x=3=3

Нуль первой скобки.

xx −3- 3−5-\sqrt{5}=0=0

Нуль второй скобки.

xx=5=\sqrt{5} +3+ 3

Переносим постоянные слагаемые вправо.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=3=3

Ноль числителя: исключаем точку, так как неравенство строгое.

xx=5=\sqrt{5} +3+ 3

Ноль числителя: исключаем точку, так как неравенство строгое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(2)f(2)=1=1 +5>0+ \sqrt{5}>0

Для промежутка (−∞;  3)(-\infty;\;3) берём x=2x=2. Этот знак не подходит.

f(4)f(4)=1=1 −5<0- \sqrt{5}<0

Для промежутка (3;  5+3)(3;\;\sqrt{5} + 3) берём x=4x=4. Этот знак подходит.

f(7)f(7)=16=16 −45>0- 4 \sqrt{5}>0

Для промежутка (5+3;  ∞)(\sqrt{5} + 3;\;\infty) берём x=7x=7. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 3 (исключена), √5+3 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Незакрашенная точка не входит в решение.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(3;  5+3)x\in (3;\;\sqrt{5} + 3)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)