ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 536E9B152 из 200

Квадратное неравенство с корнем в коэффициенте

Решите неравенство ${(x - 11)}^{2} < \sqrt{5} (x - 11)$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 536E9B.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Переносим и выносим общий множитель:

\displaystyle (x - 11)(x - 11-\sqrt{5})<0

Нули множителей:

\displaystyle x=11;\quad x=\sqrt{5} + 11

Решаем методом интервалов (см. схему). Нули числителя исключаем: неравенство строгое.

Метод интервалов. Граничные точки: 11 (исключена), √5+11 (исключена). — Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.

Ответ:

\displaystyle (11;\;\sqrt{5} + 11)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Вынесем общий множитель и найдём два граничных значения. Произведение двух линейных множителей будет отрицательным между ними.

Неравенство: ${(x-11)}^{2}<\sqrt{5}(x-11)$
Область допустимых значений: $x\in\mathbb{R}$

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Переносим всё влево и выносим скобку

Вычитаем правую часть из обеих частей. Оба слагаемых содержат $x - 11$ , поэтому выносим это выражение за скобки.

(x - 11)^2

-\sqrt{5}(x - 11)<0

Всё выражение слева.

(x - 11)(x - 11-\sqrt{5})<0

Выносим общий множитель, сохраняя все случаи.

Находим границы промежутков

Каждая скобка равна нулю в одной точке. Эти числа делят прямую на три промежутка.

x

- 11

=0\quad\Rightarrow\quad x

=11

Нуль первой скобки.

x

- 11

-\sqrt{5}

=0

Нуль второй скобки.

x

=\sqrt{5}

+ 11

Переносим постоянные слагаемые вправо.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

x

=11

Ноль числителя: исключаем точку, так как неравенство строгое.

x

=\sqrt{5}

+ 11

Ноль числителя: исключаем точку, так как неравенство строгое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через $f(x)$ левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(10)

=1

+ \sqrt{5}>0

Для промежутка $(-\infty;\;11)$ берём $x=10$ . Этот знак не подходит.

f(12)

=1

- \sqrt{5}<0

Для промежутка $(11;\;\sqrt{5} + 11)$ берём $x=12$ . Этот знак подходит.

f(15)

=16

- 4 \sqrt{5}>0

Для промежутка $(\sqrt{5} + 11;\;\infty)$ берём $x=15$ . Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x\in (11;\;\sqrt{5} + 11)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определить область допустимых значений.
Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Знаменатель дроби не может равняться нулю.
При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
Знак $\cup$ объединяет множества решений.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
Не чередовать знаки без проверки кратности корня.

Все задания №20 (200)

Квадратное неравенство с корнем в коэффициенте

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №20

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Определяем допустимые значения

2Переносим всё влево и выносим скобку

3Находим границы промежутков

4Отмечаем граничные и запрещённые точки

5Проверяем знак на каждом промежутке

Схема знаков и множество решений

6Записываем множество решений