Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 5EA9CF145 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений { 5 x 2  −11x=y, 5x−11=y.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 5EA9CF.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

5x2−11x=5x−11\displaystyle 5 x^{2} - 11 x=5 x - 11

Решаем полученное уравнение:

5x2−16x+11=0;\displaystyle 5 x^{2} - 16 x + 11=0;D=(−16)2−4⋅5⋅11=36;\displaystyle D=(-16)^2-4\cdot5\cdot11=36;x1=1,x2=115\displaystyle x_{1}=1,\quad x_{2}=\frac{11}{5}

При x=1x=1:

y=5(1)−11=−6\displaystyle y=5 (1) - 11=-6

При x=115x=\dfrac{11}{5}:

y=5(115)−11=0\displaystyle y=5 (\frac{11}{5}) - 11=0
Ответ:(1;  −6);(115;  0)\displaystyle (1;\;-6);\quad (\frac{11}{5};\;0)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система
{5x2−11x=y5x−11=y.\begin{cases}5{x}^{2}-11x=y\\5x-11=y.\end{cases}
Ищем
Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной yy. Поэтому они равны друг другу.

5x25 x^{2} −11x- 11 x=5x=5 x −11- 11

Исключаем y.

5x25 x^{2} −16x- 16 x +11+ 11=0=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

5x25 x^{2} −16x- 16 x +11+ 11=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=5,b=5,\quad b=−16,c=-16,\quad c=11=11

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−16)2=(-16)^2−4-4⋅5\cdot5⋅11\cdot11=36=36

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=6=6

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−16)−62⋅5=\frac{-(-16)-6}{2\cdot5}=1=1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−16)+62⋅5=\frac{-(-16)+6}{2\cdot5}=115=\frac{11}{5}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=1

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=5(1)=5 (1) −11- 11=−6=-6

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (1;  −6)(1;\;-6).

Находим y для значения x=\frac{11}{5}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=5(115)=5 (\frac{11}{5}) −11- 11=0=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (115;  0)(\dfrac{11}{5};\;0).

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

5(1)25 (1)^{2} −11(1)- 11 (1)=−6=-6

Пара (1;  −6)(1;\;-6), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна −6-6.

5(1)5 (1) −11- 11=−6=-6

Пара (1;  −6)(1;\;-6), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна −6-6.

5(115)25 (\frac{11}{5})^{2} −11(115)- 11 (\frac{11}{5})=0=0

Пара (115;  0)(\dfrac{11}{5};\;0), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 00.

5(115)5 (\frac{11}{5}) −11- 11=0=0

Пара (115;  0)(\dfrac{11}{5};\;0), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 00.

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(1;  −6);(115;  0)(1;\;-6);\quad (\frac{11}{5};\;0)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять два выражения для y.
  2. Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
  3. Для каждого x отдельно вычислить y.
  4. Записать пары и проверить обе строки системы.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если A=y и B=y, то A=B.
  • Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
  • При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
  • Не останавливаться на найденных x.
Все задания №20 (200)