Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 3D7F4065 из 200

Кубическое уравнение: группировка

Решите уравнение x 3  +7 x 2  =4x+28 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3D7F40.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

x3+7x2−4x−28=0;\displaystyle x^{3} + 7 x^{2} - 4 x - 28=0;x2(x+7)−4(x+7)=0;\displaystyle x^2(x + 7)-4(x + 7)=0;(x+7)(x2−4)=0\displaystyle (x + 7)(x^{2} - 4)=0

Произведение равно нулю, поэтому

x+7=0илиx2−4=0;\displaystyle x + 7=0\quad\text{или}\quad x^{2} - 4=0;x=−7;  −2;  2\displaystyle x=-7;\;-2;\;2
Ответ:−7;  −2;  2\displaystyle -7;\;-2;\;2

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

После переноса слагаемых появляется общая скобка. Разложим многочлен на множители и решим два более простых уравнения.

Уравнение
x3+7x2=4x+28{x}^{3}+7{x}^{2}=4x+28
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Переносим всё в левую часть

Вычитаем правую часть из обеих частей уравнения. При переносе слагаемых через знак равенства меняются их знаки.

x3x^{3} +7x2+ 7 x^{2} −4x- 4 x −28- 28=0=0

Справа получаем ноль. Это позволит разложить левую часть на множители.

Группируем по два слагаемых

Из первых двух слагаемых выносим x2x^2, а из последних двух — число −4-4. В обеих группах появляется одинаковая скобка x+7x + 7.

x2(x+7)x^2(x + 7)−4(x+7)-4(x + 7)=0=0

При раскрытии скобок получается исходный многочлен.

(x+7)(x2−4)(x + 7)(x^{2} - 4)=0=0

Выносим общую скобку.

Приравниваем каждый множитель к нулю

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Рассматриваем оба случая.

xx +7+ 7=0=0

Первый множитель.

xx=−7=-7

Переносим постоянное число вправо.

x2x^{2} −4- 4=0=0

Второй множитель.

x2x^2=4=4

Прибавляем 4 к обеим частям.

xx=−2илиx=-2\quad\text{или}\quad x=2=2

Квадрат положительного и отрицательного числа одинаков.

Делить на x+7x + 7 нельзя без отдельного рассмотрения его нуля: так можно потерять корень.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=−7:0=-7:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=−2:20=-2:\quad 20=20=20

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=2:36=2:\quad 36=36=36

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{−7;  −2;  2}x\in\{-7;\;-2;\;2\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Перенести слагаемые влево, получить ноль справа.
  2. Сгруппировать слагаемые и вынести общую скобку.
  3. Приравнять каждый множитель к нулю.
  4. Собрать все различные корни и проверить их.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
  • У уравнения x2=cx^2=c при c>0c>0 два корня: x=±cx=\pm\sqrt{c}.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не делить на выражение с x: его нуль может быть решением.
  • Не забыть отрицательный корень квадратного уравнения.
  • Не менять знак только у части переносимых слагаемых.
Все задания №20 (200)