ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 801B6A176 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений ${\begin{matrix} 4 x^{2} - 5 x = y, \\ 8 x - 10 = y . \end{matrix}$

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 801B6A.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

\displaystyle 4 x^{2} - 5 x=8 x - 10

Решаем полученное уравнение:

\displaystyle 4 x^{2} - 13 x + 10=0;

\displaystyle D=(-13)^2-4\cdot4\cdot10=9;

\displaystyle x_{1}=\frac{5}{4},\quad x_{2}=2

При $x=\dfrac{5}{4}$ :

\displaystyle y=8 (\frac{5}{4}) - 10=0

При $x=2$ :

\displaystyle y=8 (2) - 10=6

Ответ:

\displaystyle (\frac{5}{4};\;0);\quad (2;\;6)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система: $\begin{cases}4{x}^{2}-5x=y\\8x-10=y.\end{cases}$
Ищем: Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной $y$ . Поэтому они равны друг другу.

4 x^{2}

- 5 x

=8 x

- 10

Исключаем y.

4 x^{2}

- 13 x

+ 10

=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом $ax^2+bx+c=0$ . Коэффициент $a$ здесь — число перед квадратом переменной; $b$ — перед первой степенью, $c$ — свободный член.

4 x^{2}

- 13 x

+ 10

=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

a

=4,\quad b

=-13,\quad c

=10

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

D

=(-13)^2

-4

\cdot4

\cdot10

=9

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

\sqrt{D}

=3

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x_{1}

=\frac{-(-13)-3}{2\cdot4}

=\frac{5}{4}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x_{2}

=\frac{-(-13)+3}{2\cdot4}

=2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=\frac{5}{4}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

y

=8 (\frac{5}{4})

- 10

=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару $(\dfrac{5}{4};\;0)$ .

Находим y для значения x=2

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

y

=8 (2)

- 10

=6

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару $(2;\;6)$ .

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

4 (\frac{5}{4})^{2}

- 5 (\frac{5}{4})

=0

Пара $(\dfrac{5}{4};\;0)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $0$ .

8 (\frac{5}{4})

- 10

=0

Пара $(\dfrac{5}{4};\;0)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $0$ .

4 (2)^{2}

- 5 (2)

=6

Пара $(2;\;6)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $6$ .

8 (2)

- 10

=6

Пара $(2;\;6)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $6$ .

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(\frac{5}{4};\;0);\quad (2;\;6)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Приравнять два выражения для y.
Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
Для каждого x отдельно вычислить y.
Записать пары и проверить обе строки системы.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Если A=y и B=y, то A=B.
Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
Не останавливаться на найденных x.

Все задания №20 (200)