Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 727066171 из 200

Уравнение четвёртой степени: разность квадратов

Решите уравнение x 4  = ( 2x−15 ) 2 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 727066.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Используем разность квадратов:

(x2)2−(2x−15)2=0;\displaystyle (x^2)^2-(2 x - 15)^2=0;(x2−2x+15)(x2+2x−15)=0\displaystyle (x^{2} - 2 x + 15)(x^{2} + 2 x - 15)=0

Первый случай:

x2−2x+15=0;\displaystyle x^{2} - 2 x + 15=0;D=(−2)2−4⋅1⋅15=−56;\displaystyle D=(-2)^2-4\cdot1\cdot15=-56;D<0  ⇒  корней нет\displaystyle D<0\;\Rightarrow\;\text{корней нет}

Второй случай:

x2+2x−15=0;\displaystyle x^{2} + 2 x - 15=0;D=22−4⋅1⋅(−15)=64;\displaystyle D=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=64;x1=−5,x2=3\displaystyle x_{1}=-5,\quad x_{2}=3
Ответ:−5;  3\displaystyle -5;\;3

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

Разность двух квадратов раскладывается в произведение. Получим два квадратных уравнения и рассмотрим оба.

Уравнение
x4=(2x−15)2{x}^{4}={(2x-15)}^{2}
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Представляем обе части как квадраты

Четвёртая степень x4x^4 — квадрат выражения x2x^2. Переносим правую часть влево и применяем разность квадратов.

(x2)2(x^2)^2−(2x−15)2-(2 x - 15)^2=0=0

Получили A²−B²=0.

(x2−2x+15)(x2+2x−15)(x^{2} - 2 x + 15)(x^{2} + 2 x - 15)=0=0

Формула A²−B²=(A−B)(A+B).

Первый случай: первая скобка равна нулю

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −2x- 2 x +15+ 15=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−2,c=-2,\quad c=15=15

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−2)2=(-2)^2−4-4⋅1\cdot1⋅15\cdot15=−56=-56

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

Дискриминант отрицателен, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Второй случай: вторая скобка равна нулю

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} +2x+ 2 x −15- 15=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=2,c=2,\quad c=−15=-15

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=22=2^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−15)\cdot(-15)=64=64

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=8=8

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−2−82⋅1=\frac{-2-8}{2\cdot1}=−5=-5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−2+82⋅1=\frac{-2+8}{2\cdot1}=3=3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=−5:625=-5:\quad 625=625=625

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=3:81=3:\quad 81=81=81

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{−5;  3}x\in\{-5;\;3\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Перенести квадрат правой части влево.
  2. Разложить разность квадратов.
  3. Решить оба квадратных уравнения.
  4. Объединить корни и проверить ответ.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Формула A2−B2=(A−B)(A+B)A^2-B^2=(A-B)(A+B).
  • Если дискриминант отрицателен, соответствующее квадратное уравнение не даёт действительных корней.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не делать неверный вывод A=B из A²=B² без случая A=−B.
  • Не считать отрицательные корни недопустимыми: уравнение не запрещает x<0.
  • Не останавливаться после рассмотрения одной скобки.
Все задания №20 (200)