Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 758215109 из 200

Дробное уравнение: замена обратной величины

Решите уравнение 1 ( x−2 ) 2 − 1 x−2 −6=0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 758215.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ и замена:

x−2≠0;\displaystyle x - 2\ne0;t=1x−2,t≠0\displaystyle t=\frac{1}{x - 2},\quad t\ne0

Получаем квадратное уравнение:

t2−t−6=0;\displaystyle t^{2} - t - 6=0;D=(−1)2−4⋅1⋅(−6)=25;\displaystyle D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25;t1=−2,t2=3\displaystyle t_{1}=-2,\quad t_{2}=3

При t=−2t=-2:

1x−2=−2;\displaystyle \frac{1}{x - 2}=-2;x−2=1−2=−12;\displaystyle x - 2=\frac{1}{-2}=- \frac{1}{2};x=2+(−12)=32\displaystyle x=2+\left(- \frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}

При t=3t=3:

1x−2=3;\displaystyle \frac{1}{x - 2}=3;x−2=13=13;\displaystyle x - 2=\frac{1}{3}=\frac{1}{3};x=2+(13)=73\displaystyle x=2+\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{3}
Ответ:32;  73\displaystyle \frac{3}{2};\;\frac{7}{3}

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

В дробях встречаются обратная величина и её квадрат. Введём новую переменную, решим квадратное уравнение и вернёмся к x.

Уравнение
1(x−2)2−1x−2−6=0\dfrac{1}{{(x-2)}^{2}}-\dfrac{1}{x-2}-6=0
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Исключаем ноль знаменателя

Обе дроби определены только при ненулевом выражении x−2x - 2.

xx −2≠0⇒x≠2- 2\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne 2

Это ограничение действует до конца решения.

Вводим новую переменную

Обозначим обратную величину через tt. Тогда первая дробь — это квадрат новой переменной.

tt=1x−2,t≠0=\frac{1}{x - 2},\quad t\ne0

Обратная величина не может равняться нулю.

t2t^2=1(x−2)2=\frac{1}{(x - 2)^2}

Возводим обе части определения t в квадрат.

t2t^{2} −t- t −6- 6=0=0

Подставляем t и t² в исходное уравнение.

Решаем квадратное уравнение относительно t

Сравниваем уравнение с видом at2+bt+c=0at^2+bt+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

t2t^{2} −t- t −6- 6=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−1,c=-1,\quad c=−6=-6

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−1)2=(-1)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−6)\cdot(-6)=25=25

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=5=5

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

t1t_{1}=−(−1)−52⋅1=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=−2=-2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

t2t_{2}=−(−1)+52⋅1=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=3=3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Возвращаемся к x: случай 1

Из найденного значения t=−2t=-2 найдём исходную переменную.

1x−2\frac{1}{x - 2}=−2=-2

Возвращаем определение t.

xx −2- 2=1−2=\frac{1}{-2}=−12=- \frac{1}{2}

Берём обратные величины: обе части ненулевые.

xx=2=2+(−12)+\left(- \frac{1}{2}\right)=32=\frac{3}{2}

Прибавляем сдвиг и складываем числа.

Возвращаемся к x: случай 2

Из найденного значения t=3t=3 найдём исходную переменную.

1x−2\frac{1}{x - 2}=3=3

Возвращаем определение t.

xx −2- 2=13=\frac{1}{3}=13=\frac{1}{3}

Берём обратные величины: обе части ненулевые.

xx=2=2+(13)+\left(\frac{1}{3}\right)=73=\frac{7}{3}

Прибавляем сдвиг и складываем числа.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=32:0=\frac{3}{2}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=73:0=\frac{7}{3}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{32;  73}x\in\{\frac{3}{2};\;\frac{7}{3}\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Исключить ноль знаменателя.
  2. Ввести замену t=1/(x−a).
  3. Решить квадратное уравнение по t.
  4. Для каждого ненулевого t найти x и проверить ОДЗ.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Квадрат дроби: (1/u)2=1/u2(1/u)^2=1/u^2.
  • Из 1/u=t1/u=t при ненулевых u и t следует u=1/tu=1/t.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не принять найденные значения t за ответ на вопрос о x.
  • Не забыть ограничение на знаменатель.
  • При возвращении к x не терять сдвиг в выражении x−a.
Все задания №20 (200)