ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 78A05831 из 200

Неравенство x и обратная пропорциональность

Решите неравенство $x\leq\dfrac{9}{x}$ .

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 78A058.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

\displaystyle x\ne 0

Переносим дробь и раскладываем числитель:

\displaystyle x\leq\frac{9}{x}

⇔

\displaystyle \frac{x^2-9}{x}\leq0

⇔

\displaystyle \frac{(x - 3) (x + 3)}{x}\leq0

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем $0$ по ОДЗ. Включаем $-3,\;3$ : неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: -3 (включена), 0 (исключена), 3 (включена). — Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.

Ответ:

\displaystyle (-\infty;\;-3]\cup(0;\;3]

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Нельзя умножать на x, не зная его знака. Вместо этого перенесём всё влево, объединим в дробь и применим метод интервалов.

Неравенство: $x\leq\dfrac{9}{x}$
Область допустимых значений: $x\ne 0$

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x\ne 0

Записываем область допустимых значений.

Переносим дробь и объединяем слагаемые

Вычтем дробь из обеих частей. Приводим x к знаменателю x, используя уже записанное условие x≠0.

x

-\frac{9}{x}\leq0

Все слагаемые слева.

\frac{x^2-9}{x}\leq0

Умножаем x на x/x.

Разлагаем разность квадратов

Число 9 — квадрат $3$ . Поэтому числитель раскладывается по формуле разности квадратов.

x^2

-9

=(x-3)(x+3)

Формула A²−B²=(A−B)(A+B).

\frac{(x - 3) (x + 3)}{x}\leq0

Теперь видны все нули числителя и знаменателя.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

x

=-3

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

x

=0

Ноль знаменателя: точка исключена.

x

=3

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через $f(x)$ левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(-4)

=- \frac{7}{4}<0

Для промежутка $(-\infty;\;-3)$ берём $x=-4$ . Этот знак подходит.

f(-2)

=\frac{5}{2}>0

Для промежутка $(-3;\;0)$ берём $x=-2$ . Этот знак не подходит.

f(1)

=-8<0

Для промежутка $(0;\;3)$ берём $x=1$ . Этот знак подходит.

f(4)

=\frac{7}{4}>0

Для промежутка $(3;\;\infty)$ берём $x=4$ . Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x\in (-\infty;\;-3]\cup(0;\;3]

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определить область допустимых значений.
Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Знаменатель дроби не может равняться нулю.
При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
Знак $\cup$ объединяет множества решений.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
Не чередовать знаки без проверки кратности корня.

Все задания №20 (200)

Неравенство x и обратная пропорциональность

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №20

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Определяем допустимые значения

2Переносим дробь и объединяем слагаемые

3Разлагаем разность квадратов

4Отмечаем граничные и запрещённые точки

5Проверяем знак на каждом промежутке

Схема знаков и множество решений

6Записываем множество решений