Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 35AF32186 из 200

Сумма двух квадратов равна нулю

Решите уравнение ( x 2  −1 ) 2  + ( x 2  −6x−7 ) 2  =0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 35AF32.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Оба квадрата неотрицательны. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда

{x2−1=0,x2−6x−7=0.\displaystyle \begin{cases}x^{2} - 1=0,\\x^{2} - 6 x - 7=0.\end{cases}

Из первого уравнения:

x=−1;  1\displaystyle x=-1;\;1

Подставляем кандидатов во второе:

x=−1:(−1)2−6(−1)−7=0;\displaystyle x=-1:\quad (-1)^{2} - 6 (-1) - 7=0;x=1:(1)2−6(1)−7=−12≠0\displaystyle x=1:\quad (1)^{2} - 6 (1) - 7=-12\ne0
Ответ:−1\displaystyle -1

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

Не будем раскрывать четвёртые степени: сумма двух неотрицательных квадратов равна нулю лишь при одновременном равенстве нулю выражений под квадратами.

Уравнение
(x2−1)2+(x2−6x−7)2=0{({x}^{2}-1)}^{2}+{({x}^{2}-6x-7)}^{2}=0
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Используем неотрицательность квадратов

Каждое слагаемое — квадрат действительного числа. Сумма таких квадратов равна нулю только тогда, когда оба равны нулю одновременно.

x2x^{2} −1- 1=0=0

Первое необходимое условие.

x2x^{2} −6x- 6 x −7- 7=0=0

Второе условие должно выполняться при том же x.

Находим кандидатов из первого условия

Первое уравнение имеет вид квадрата, равного положительному числу.

x2x^2=1=1

Переносим постоянное слагаемое.

xx=−1;  1=-1;\;1

Учитываем оба знака.

Проверяем второе условие у каждого кандидата

Нельзя объединить корни двух уравнений. Ищем только их общие корни.

xx=−1:(−1)2=-1:\quad (-1)^{2} −6(−1)- 6 (-1) −7- 7=0=0

Второе условие выполняется: оставляем.

xx=1:(1)2=1:\quad (1)^{2} −6(1)- 6 (1) −7- 7=−12≠0=-12\ne0

Второе условие не выполняется: исключаем.

Второе выражение: x2−6x−7x^{2} - 6 x - 7. В него подставлены оба найденных значения.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=−1:0=-1:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{−1}x\in\{-1\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять оба выражения под квадратами к нулю.
  2. Решить более простое из уравнений.
  3. Подставить каждого кандидата во второе.
  4. Записать только общие корни.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Квадрат действительного числа неотрицателен.
  • Решение системы должно удовлетворять всем её уравнениям одновременно.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не использовать правило нулевого произведения для суммы квадратов.
  • Не объединять корни двух условий: нужно их пересечение.
  • Не записывать кандидата в ответ без проверки второго квадрата.
Все задания №20 (200)