Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ C73C7899 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений { 9 x 2  −14x=y, 9x−14=y.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание C73C78.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

9x2−14x=9x−14\displaystyle 9 x^{2} - 14 x=9 x - 14

Решаем полученное уравнение:

9x2−23x+14=0;\displaystyle 9 x^{2} - 23 x + 14=0;D=(−23)2−4⋅9⋅14=25;\displaystyle D=(-23)^2-4\cdot9\cdot14=25;x1=1,x2=149\displaystyle x_{1}=1,\quad x_{2}=\frac{14}{9}

При x=1x=1:

y=9(1)−14=−5\displaystyle y=9 (1) - 14=-5

При x=149x=\dfrac{14}{9}:

y=9(149)−14=0\displaystyle y=9 (\frac{14}{9}) - 14=0
Ответ:(1;  −5);(149;  0)\displaystyle (1;\;-5);\quad (\frac{14}{9};\;0)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система
{9x2−14x=y9x−14=y.\begin{cases}9{x}^{2}-14x=y\\9x-14=y.\end{cases}
Ищем
Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной yy. Поэтому они равны друг другу.

9x29 x^{2} −14x- 14 x=9x=9 x −14- 14

Исключаем y.

9x29 x^{2} −23x- 23 x +14+ 14=0=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

9x29 x^{2} −23x- 23 x +14+ 14=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=9,b=9,\quad b=−23,c=-23,\quad c=14=14

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−23)2=(-23)^2−4-4⋅9\cdot9⋅14\cdot14=25=25

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=5=5

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−23)−52⋅9=\frac{-(-23)-5}{2\cdot9}=1=1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−23)+52⋅9=\frac{-(-23)+5}{2\cdot9}=149=\frac{14}{9}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=1

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=9(1)=9 (1) −14- 14=−5=-5

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (1;  −5)(1;\;-5).

Находим y для значения x=\frac{14}{9}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=9(149)=9 (\frac{14}{9}) −14- 14=0=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (149;  0)(\dfrac{14}{9};\;0).

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

9(1)29 (1)^{2} −14(1)- 14 (1)=−5=-5

Пара (1;  −5)(1;\;-5), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна −5-5.

9(1)9 (1) −14- 14=−5=-5

Пара (1;  −5)(1;\;-5), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна −5-5.

9(149)29 (\frac{14}{9})^{2} −14(149)- 14 (\frac{14}{9})=0=0

Пара (149;  0)(\dfrac{14}{9};\;0), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 00.

9(149)9 (\frac{14}{9}) −14- 14=0=0

Пара (149;  0)(\dfrac{14}{9};\;0), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 00.

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(1;  −5);(149;  0)(1;\;-5);\quad (\frac{14}{9};\;0)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять два выражения для y.
  2. Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
  3. Для каждого x отдельно вычислить y.
  4. Записать пары и проверить обе строки системы.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если A=y и B=y, то A=B.
  • Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
  • При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
  • Не останавливаться на найденных x.
Все задания №20 (200)