ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 116114111 из 200

Система с пропорциональными левыми частями

Решите систему уравнений ${\begin{matrix} x^{2} + 3 y^{2} = 31, \\ 2 x^{2} + 6 y^{2} = 31 x . \end{matrix}$

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 116114.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Левая часть второго уравнения в 2 раза больше левой части первого, поэтому

\displaystyle 2\cdot 31=31x;

\displaystyle x=2

Подставляем в первое уравнение:

\displaystyle 4+3y^2=31;

\displaystyle y^2=9;

\displaystyle y=\pm 3

Ответ:

\displaystyle (2;\;-3);\quad (2;\;3)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Вторая левая часть — кратная первой. Используем эту связь, чтобы сразу найти x, затем найдём оба значения y.

Система: $\begin{cases}{x}^{2}+3{y}^{2}=31\\2{x}^{2}+6{y}^{2}=31x.\end{cases}$
Ищем: Все пары (x;y).

Сравниваем левые части

Коэффициенты второго уравнения в 2 раза больше коэффициентов первого. Значит, его левая часть — это 2 первых левых частей.

2 x^{2}

+ 6 y^{2}

=2(x^{2} + 3 y^{2})

Выносим общий множитель из второго уравнения.

x^{2}

+ 3 y^{2}

=31

Это первое уравнение, которое уже дано.

Находим x без решения сложной системы

Подставляем значение всей первой левой части во вторую: вместо скобки ставим число 31.

2

\cdot 31

=31x

Приравниваем обе записи второй левой части.

x

=\frac{62}{31}

=2

Делим обе части на ненулевое число 31.

Подставляем найденный x в первое уравнение

Теперь неизвестна только переменная $y$ . Сначала вычисляем квадрат x и произведение, затем переносим число и делим.

1

\cdot 2^2

+3y^2

=31

Подставили x.

4

+3y^2

=31

Вычислили квадрат и умножили на коэффициент.

3y^2

=31

-4

=27

Перенесли известное слагаемое вправо.

y^2

=\frac{27}{3}

=9

Разделили на коэффициент при y².

y

=\pm 3

Учли оба знака.

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

(2)^{2}

+ 3 (-3)^{2}

=31

Пара $(2;\;-3)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $31$ .

2 (2)^{2}

+ 6 (-3)^{2}

=62

Пара $(2;\;-3)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $62$ .

(2)^{2}

+ 3 (3)^{2}

=31

Пара $(2;\;3)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $31$ .

2 (2)^{2}

+ 6 (3)^{2}

=62

Пара $(2;\;3)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $62$ .

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(2;\;-3);\quad (2;\;3)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сравнить коэффициенты при x² и y².
Заменить первую левую часть её значением во втором уравнении.
Найти x, затем y² и оба значения y.
Проверить обе пары в исходной системе.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Если A=c, то kA=kc.
Если y²>0, при извлечении корня нужно два знака.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не сокращать разные слагаемые по отдельности: сравнивать нужно всю левую часть.
Не делить y² на коэффициент до переноса остальных чисел.
Не забыть вторую пару с отрицательным y.

Все задания №20 (200)