Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 417E7991 из 200

Система уравнений: подстановка

Решите систему уравнений { 3 x 2  −2x=y, 3x−2=y.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 417E79.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Приравниваем два выражения для y:

3x2−2x=3x−2\displaystyle 3 x^{2} - 2 x=3 x - 2

Решаем полученное уравнение:

3x2−5x+2=0;\displaystyle 3 x^{2} - 5 x + 2=0;D=(−5)2−4⋅3⋅2=1;\displaystyle D=(-5)^2-4\cdot3\cdot2=1;x1=23,x2=1\displaystyle x_{1}=\frac{2}{3},\quad x_{2}=1

При x=23x=\dfrac{2}{3}:

y=3(23)−2=0\displaystyle y=3 (\frac{2}{3}) - 2=0

При x=1x=1:

y=3(1)−2=1\displaystyle y=3 (1) - 2=1
Ответ:(23;  0);(1;  1)\displaystyle (\frac{2}{3};\;0);\quad (1;\;1)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Выразить y уже помогло условие. Приравняем два выражения для y, решим квадратное уравнение и найдём y для каждого x.

Система
{3x2−2x=y3x−2=y.\begin{cases}3{x}^{2}-2x=y\\3x-2=y.\end{cases}
Ищем
Все пары (x;y).

Приравниваем выражения для y

Обе левые части системы равны одной и той же переменной yy. Поэтому они равны друг другу.

3x23 x^{2} −2x- 2 x=3x=3 x −2- 2

Исключаем y.

3x23 x^{2} −5x- 5 x +2+ 2=0=0

Переносим всё влево и приводим подобные слагаемые.

Решаем полученное квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

3x23 x^{2} −5x- 5 x +2+ 2=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=3,b=3,\quad b=−5,c=-5,\quad c=2=2

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−5)2=(-5)^2−4-4⋅3\cdot3⋅2\cdot2=1=1

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=1=1

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−5)−12⋅3=\frac{-(-5)-1}{2\cdot3}=23=\frac{2}{3}

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−5)+12⋅3=\frac{-(-5)+1}{2\cdot3}=1=1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим y для значения x=\frac{2}{3}

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=3(23)=3 (\frac{2}{3}) −2- 2=0=0

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (23;  0)(\dfrac{2}{3};\;0).

Находим y для значения x=1

Каждому корню x сопоставляем его собственное значение y. Удобнее использовать линейное уравнение.

yy=3(1)=3 (1) −2- 2=1=1

Сначала умножаем, затем выполняем сложение или вычитание.

Получили пару (1;  1)(1;\;1).

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

3(23)23 (\frac{2}{3})^{2} −2(23)- 2 (\frac{2}{3})=0=0

Пара (23;  0)(\dfrac{2}{3};\;0), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 00.

3(23)3 (\frac{2}{3}) −2- 2=0=0

Пара (23;  0)(\dfrac{2}{3};\;0), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 00.

3(1)23 (1)^{2} −2(1)- 2 (1)=1=1

Пара (1;  1)(1;\;1), уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна 11.

3(1)3 (1) −2- 2=1=1

Пара (1;  1)(1;\;1), уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна 11.

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(23;  0);(1;  1)(\frac{2}{3};\;0);\quad (1;\;1)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Приравнять два выражения для y.
  2. Перенести всё в одну сторону и решить квадратное уравнение.
  3. Для каждого x отдельно вычислить y.
  4. Записать пары и проверить обе строки системы.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если A=y и B=y, то A=B.
  • Каждый корень промежуточного уравнения требует восстановления второй переменной.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не объединять все найденные x с любыми y: пары связаны подстановкой.
  • При переносе правой части поменять знаки всех её слагаемых.
  • Не останавливаться на найденных x.
Все задания №20 (200)