Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ C0319F154 из 200

Дробное уравнение: замена обратной величины

Решите уравнение 1 ( x−3 ) 2 − 3 x−3 −4=0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание C0319F.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ и замена:

x−3≠0;\displaystyle x - 3\ne0;t=1x−3,t≠0\displaystyle t=\frac{1}{x - 3},\quad t\ne0

Получаем квадратное уравнение:

t2−3t−4=0;\displaystyle t^{2} - 3 t - 4=0;D=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=25;\displaystyle D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=25;t1=−1,t2=4\displaystyle t_{1}=-1,\quad t_{2}=4

При t=−1t=-1:

1x−3=−1;\displaystyle \frac{1}{x - 3}=-1;x−3=1−1=−1;\displaystyle x - 3=\frac{1}{-1}=-1;x=3+(−1)=2\displaystyle x=3+\left(-1\right)=2

При t=4t=4:

1x−3=4;\displaystyle \frac{1}{x - 3}=4;x−3=14=14;\displaystyle x - 3=\frac{1}{4}=\frac{1}{4};x=3+(14)=134\displaystyle x=3+\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{13}{4}
Ответ:2;  134\displaystyle 2;\;\frac{13}{4}

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

В дробях встречаются обратная величина и её квадрат. Введём новую переменную, решим квадратное уравнение и вернёмся к x.

Уравнение
1(x−3)2−3x−3−4=0\dfrac{1}{{(x-3)}^{2}}-\dfrac{3}{x-3}-4=0
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Исключаем ноль знаменателя

Обе дроби определены только при ненулевом выражении x−3x - 3.

xx −3≠0⇒x≠3- 3\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne 3

Это ограничение действует до конца решения.

Вводим новую переменную

Обозначим обратную величину через tt. Тогда первая дробь — это квадрат новой переменной.

tt=1x−3,t≠0=\frac{1}{x - 3},\quad t\ne0

Обратная величина не может равняться нулю.

t2t^2=1(x−3)2=\frac{1}{(x - 3)^2}

Возводим обе части определения t в квадрат.

t2t^{2} −3t- 3 t −4- 4=0=0

Подставляем t и t² в исходное уравнение.

Решаем квадратное уравнение относительно t

Сравниваем уравнение с видом at2+bt+c=0at^2+bt+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

t2t^{2} −3t- 3 t −4- 4=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−3,c=-3,\quad c=−4=-4

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−3)2=(-3)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−4)\cdot(-4)=25=25

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=5=5

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

t1t_{1}=−(−3)−52⋅1=\frac{-(-3)-5}{2\cdot1}=−1=-1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

t2t_{2}=−(−3)+52⋅1=\frac{-(-3)+5}{2\cdot1}=4=4

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Возвращаемся к x: случай 1

Из найденного значения t=−1t=-1 найдём исходную переменную.

1x−3\frac{1}{x - 3}=−1=-1

Возвращаем определение t.

xx −3- 3=1−1=\frac{1}{-1}=−1=-1

Берём обратные величины: обе части ненулевые.

xx=3=3+(−1)+\left(-1\right)=2=2

Прибавляем сдвиг и складываем числа.

Возвращаемся к x: случай 2

Из найденного значения t=4t=4 найдём исходную переменную.

1x−3\frac{1}{x - 3}=4=4

Возвращаем определение t.

xx −3- 3=14=\frac{1}{4}=14=\frac{1}{4}

Берём обратные величины: обе части ненулевые.

xx=3=3+(14)+\left(\frac{1}{4}\right)=134=\frac{13}{4}

Прибавляем сдвиг и складываем числа.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=2:0=2:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=134:0=\frac{13}{4}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{2;  134}x\in\{2;\;\frac{13}{4}\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Исключить ноль знаменателя.
  2. Ввести замену t=1/(x−a).
  3. Решить квадратное уравнение по t.
  4. Для каждого ненулевого t найти x и проверить ОДЗ.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Квадрат дроби: (1/u)2=1/u2(1/u)^2=1/u^2.
  • Из 1/u=t1/u=t при ненулевых u и t следует u=1/tu=1/t.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не принять найденные значения t за ответ на вопрос о x.
  • Не забыть ограничение на знаменатель.
  • При возвращении к x не терять сдвиг в выражении x−a.
Все задания №20 (200)