Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 05B7D925 из 200

Неравенство: произведение квадратных трёхчленов

Решите неравенство (x2+2x−8)(x2−9x+14)≥0(x^{2} + 2 x - 8)(x^{2} - 9 x + 14)\geq0.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 05B7D9.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Разложим на множители:

x2+2x−8=(x−2)(x+4);\displaystyle x^{2} + 2 x - 8=(x - 2) (x + 4);x2−9x+14=(x−7)(x−2)\displaystyle x^{2} - 9 x + 14=(x - 7) (x - 2)

Исходное неравенство равносильно

(x−7)(x−2)2(x+4)≥0\displaystyle (x - 7) (x - 2)^{2} (x + 4)\geq0

Решаем методом интервалов (см. схему). В точке x=2x=2 корень кратности 2, поэтому знак не меняется. Включаем −4,  2,  7-4,\;2,\;7: неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: -4 (включена), 2 (включена), 7 (включена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−∞;  −4]∪{2}∪[7;  ∞)\displaystyle (-\infty;\;-4]\cup\{2\}\cup[7;\;\infty)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Разложим многочлены на линейные множители. Отметим их нули и определим знак произведения на каждом промежутке.

Неравенство
(x2+2x−8)(x2−9x+14)≥0(x^{2} + 2 x - 8)(x^{2} - 9 x + 14)\geq0
Область допустимых значений
x∈Rx\in\mathbb{R}

Определяем допустимые значения

В условии нет выражений, ограничивающих x: многочлены определены при всех действительных значениях.

x∈Rx\in\mathbb{R}

Можно рассматривать всю числовую прямую.

Находим корни трёхчлена 1

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} +2x+ 2 x −8- 8=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=2,c=2,\quad c=−8=-8

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=22=2^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−8)\cdot(-8)=36=36

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=6=6

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−2−62⋅1=\frac{-2-6}{2\cdot1}=−4=-4

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−2+62⋅1=\frac{-2+6}{2\cdot1}=2=2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Находим корни трёхчлена 2

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −9x- 9 x +14+ 14=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−9,c=-9,\quad c=14=14

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−9)2=(-9)^2−4-4⋅1\cdot1⋅14\cdot14=25=25

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=5=5

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−9)−52⋅1=\frac{-(-9)-5}{2\cdot1}=2=2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−9)+52⋅1=\frac{-(-9)+5}{2\cdot1}=7=7

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Собираем разложение всего выражения

Подставляем найденные множители в исходное неравенство. Повторяющиеся множители собираем в степени.

x2x^{2} +2x+ 2 x −8- 8=(x−2)(x+4)=(x - 2) (x + 4)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

x2x^{2} −9x- 9 x +14+ 14=(x−7)(x−2)=(x - 7) (x - 2)

Коэффициент перед x² равен 1, поэтому трёхчлен равен произведению (x−x₁)(x−x₂).

(x−7)(x−2)2(x+4)≥0(x - 7) (x - 2)^{2} (x + 4)\geq0

Полностью разложенная левая часть.

У множителя чётной степени знак при прохождении через его нуль не меняется. Но сам нуль может войти в ответ, если неравенство нестрогое.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−4=-4

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=2=2

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

xx=7=7

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−5)f(-5)=588>0=588>0

Для промежутка (−∞;  −4)(-\infty;\;-4) берём x=−5x=-5. Этот знак подходит.

f(−3)f(-3)=−250<0=-250<0

Для промежутка (−4;  2)(-4;\;2) берём x=−3x=-3. Этот знак не подходит.

f(3)f(3)=−28<0=-28<0

Для промежутка (2;  7)(2;\;7) берём x=3x=3. Этот знак не подходит.

f(8)f(8)=432>0=432>0

Для промежутка (7;  ∞)(7;\;\infty) берём x=8x=8. Этот знак подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: -4 (включена), 2 (включена), 7 (включена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Незакрашенная точка не входит в решение.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−∞;  −4]∪{2}∪[7;  ∞)x\in (-\infty;\;-4]\cup\{2\}\cup[7;\;\infty)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)