Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 6E795034 из 200

Дробное неравенство: исключённая точка после сокращения

Решите неравенство x2−7x+12x−3≤0\dfrac{x^{2} - 7 x + 12}{x-3}\leq0.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6E7950.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠3\displaystyle x\ne 3

При указанном ограничении раскладываем числитель и сокращаем общий множитель:

x2−7x+12=(x−3)(x−4);\displaystyle x^{2} - 7 x + 12=(x-3)(x-4);(x−3)(x−4)x−3≤0\displaystyle \frac{(x-3)(x-4)}{x-3}\leq0⇔x−4≤0\displaystyle x-4\leq0⇔x≤4,x≠3\displaystyle x\leq4,\quad x\ne3

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем 33 по ОДЗ. Включаем 44: неравенство нестрогое.

Метод интервалов. Граничные точки: 3 (исключена), 4 (включена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−∞;  3)∪(3;  4]\displaystyle (-\infty;\;3)\cup(3;\;4]

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

После сокращения дробь станет линейным выражением. Сохраним ограничение исходного знаменателя и удалим запрещённую точку из ответа.

Неравенство
x2−7x+12x−3≤0\dfrac{x^{2} - 7 x + 12}{x-3}\leq0
Область допустимых значений
x≠3x\ne 3

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠3x\ne 3

Записываем область допустимых значений.

Находим множители числителя

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −7x- 7 x +12+ 12=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−7,c=-7,\quad c=12=12

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−7)2=(-7)^2−4-4⋅1\cdot1⋅12\cdot12=1=1

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=1=1

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−7)−12⋅1=\frac{-(-7)-1}{2\cdot1}=3=3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−7)+12⋅1=\frac{-(-7)+1}{2\cdot1}=4=4

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Сокращаем общий множитель и сохраняем запрет

При x≠3x\ne 3 можно сократить одинаковый множитель. Но точка x=3x=3 остаётся запрещённой в исходной дроби.

x2x^{2} −7x- 7 x +12+ 12=(x−3)(x−4)=(x-3)(x-4)

Разложение квадратного трёхчлена.

(x−3)(x−4)x−3\frac{(x-3)(x-4)}{x-3}=x=x−4-4

Сокращение допустимо только при ненулевом x−3.

xx−4≤0-4\leq0

Остаётся линейное неравенство.

x≤4,x≠3x\leq 4,\quad x\ne 3

Переносим 4 вправо и сохраняем исключённую точку.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=3=3

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=4=4

Ноль числителя: включаем точку, так как неравенство нестрогое.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(2)f(2)=−2<0=-2<0

Для промежутка (−∞;  3)(-\infty;\;3) берём x=2x=2. Этот знак подходит.

f(72)f(\frac{7}{2})=−12<0=- \frac{1}{2}<0

Для промежутка (3;  4)(3;\;4) берём x=72x=\dfrac{7}{2}. Этот знак подходит.

f(5)f(5)=1>0=1>0

Для промежутка (4;  ∞)(4;\;\infty) берём x=5x=5. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 3 (исключена), 4 (включена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−∞;  3)∪(3;  4]x\in (-\infty;\;3)\cup(3;\;4]

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)