Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 984D22123 из 200

Уравнение с общим множителем

Решите уравнение x( x 2  +4x+4 )=3( x+2 ) .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 984D22.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Выделим квадрат двучлена и вынесем общий множитель:

(x)(x+2)2−3(x+2)=0;\displaystyle (x)(x + 2)^2-3(x + 2)=0;(x+2)[(x)(x+2)−3]=0\displaystyle (x + 2)[(x)(x + 2)-3]=0

Отсюда

x+2=0илиx2+2x−3=0;\displaystyle x + 2=0\quad\text{или}\quad x^{2} + 2 x - 3=0;x=−2\displaystyle x=-2

Для второго уравнения:

x2+2x−3=0;\displaystyle x^{2} + 2 x - 3=0;D=22−4⋅1⋅(−3)=16;\displaystyle D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16;x1=−3,x2=1\displaystyle x_{1}=-3,\quad x_{2}=1
Ответ:−3;  −2;  1\displaystyle -3;\;-2;\;1

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

Распознаем квадрат двучлена и вынесем общий множитель. Обязательно сохраним случай, когда этот множитель равен нулю.

Уравнение
x(x2+4x+4)=3(x+2)x({x}^{2}+4x+4)=3(x+2)
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Замечаем квадрат двучлена

Квадратный трёхчлен в условии — это квадрат x+2x + 2. Проверим раскрытием скобок.

x2x^{2} +4x+ 4 x +4+ 4=(x+2)2=(x + 2)^2

Используем квадрат суммы: (u+v)²=u²+2uv+v².

(x)(x+2)2(x)(x + 2)^2=3(x+2)=3(x + 2)

Подставляем квадрат двучлена в исходное уравнение.

Выносим общий множитель

Переносим правую часть влево. В обоих слагаемых есть x+2x + 2, поэтому выносим его за скобки.

(x)(x+2)2(x)(x + 2)^2−3(x+2)-3(x + 2)=0=0

Вычитаем правую часть из обеих частей.

(x+2)[(x)(x+2)(x + 2)[(x)(x + 2)−3]-3]=0=0

В первом слагаемом после выноса остаётся ещё один множитель x+2x + 2.

Рассматриваем два случая

Каждый из множителей может обратиться в ноль.

xx +2+ 2=0⇒x=0\quad\Rightarrow\quad x=−2=-2

Корень из первого множителя.

(x)(x+2)(x)(x + 2)−3-3=0=0

Теперь решаем второй случай.

x2x^{2} +2x+ 2 x −3- 3=0=0

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Решаем уравнение из второй скобки

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} +2x+ 2 x −3- 3=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=2,c=2,\quad c=−3=-3

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=22=2^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−3)\cdot(-3)=16=16

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=4=4

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−2−42⋅1=\frac{-2-4}{2\cdot1}=−3=-3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−2+42⋅1=\frac{-2+4}{2\cdot1}=1=1

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=−3:=-3:\quad −3-3=−3=-3

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=−2:0=-2:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=1:9=1:\quad 9=9=9

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{−3;  −2;  1}x\in\{-3;\;-2;\;1\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Распознать квадрат двучлена.
  2. Перенести правую часть влево.
  3. Вынести общую скобку, не деля на неё.
  4. Решить линейное и квадратное уравнения, объединить корни.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Формула (x+a)2=x2+2ax+a2(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.
  • Нулевое произведение даёт совокупность случаев: достаточно выполнения хотя бы одного.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не сократить общую скобку, не рассмотрев её нуль.
  • Не пропустить среднее слагаемое в квадрате двучлена.
  • Не требовать одновременного равенства нулю обоих множителей.
Все задания №20 (200)