Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 6CEBED165 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 17 ( x+3 ) 2  −7 ≥0.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6CEBED.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠−3−7,x≠−3+7\displaystyle x\ne -3 - \sqrt{7},\quad x\ne -3 + \sqrt{7}

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x+3)2−7<0\displaystyle (x + 3)^{2} - 7<0⇔(x+3)2<7\displaystyle (x + 3)^2<7⇔−7<x+3<7\displaystyle -\sqrt{7}<x + 3<\sqrt{7}⇔−3−7<x<−3+7\displaystyle -3 - \sqrt{7}<x<-3 + \sqrt{7}

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем −3−7,  −3+7-3 - \sqrt{7},\;-3 + \sqrt{7} по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: −3−√7 (исключена), −3+√7 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−3−7;  −3+7)\displaystyle (-3 - \sqrt{7};\;-3 + \sqrt{7})

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−17(x+3)2−7≥0\dfrac{-17}{{(x+3)}^{2}-7}\geq0
Область допустимых значений
x≠−3−7,x≠−3+7x\ne -3 - \sqrt{7},\quad x\ne -3 + \sqrt{7}

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠x\ne −3-3 −7,x≠- \sqrt{7},\quad x\ne −3-3 +7+ \sqrt{7}

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −17-17, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x+3)2(x + 3)^{2} −7<0- 7<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 77 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 77, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x+3)2<7(x + 3)^2<7

Переносим постоянное слагаемое.

−7<x-\sqrt{7}<x +3<7+ 3<\sqrt{7}

Получаем строгое двойное неравенство.

−3-3 −7<x<- \sqrt{7}<x<−3-3 +7+ \sqrt{7}

Прибавляем -3 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−3=-3 −7- \sqrt{7}

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=−3=-3 +7+ \sqrt{7}

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−7)f(-7)=−179<0=- \frac{17}{9}<0

Для промежутка (−∞;  −3−7)(-\infty;\;-3 - \sqrt{7}) берём x=−7x=-7. Этот знак не подходит.

f(−5)f(-5)=173>0=\frac{17}{3}>0

Для промежутка (−3−7;  −3+7)(-3 - \sqrt{7};\;-3 + \sqrt{7}) берём x=−5x=-5. Этот знак подходит.

f(1)f(1)=−179<0=- \frac{17}{9}<0

Для промежутка (−3+7;  ∞)(-3 + \sqrt{7};\;\infty) берём x=1x=1. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: −3−√7 (исключена), −3+√7 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−3−7;  −3+7)x\in (-3 - \sqrt{7};\;-3 + \sqrt{7})

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)