Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 605EEE167 из 200

Дробное уравнение: замена обратной величины

Решите уравнение 1 ( x−1 ) 2 + 4 x−1 −12=0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 605EEE.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ и замена:

x−1≠0;\displaystyle x - 1\ne0;t=1x−1,t≠0\displaystyle t=\frac{1}{x - 1},\quad t\ne0

Получаем квадратное уравнение:

t2+4t−12=0;\displaystyle t^{2} + 4 t - 12=0;D=42−4⋅1⋅(−12)=64;\displaystyle D=4^2-4\cdot1\cdot(-12)=64;t1=−6,t2=2\displaystyle t_{1}=-6,\quad t_{2}=2

При t=−6t=-6:

1x−1=−6;\displaystyle \frac{1}{x - 1}=-6;x−1=1−6=−16;\displaystyle x - 1=\frac{1}{-6}=- \frac{1}{6};x=1+(−16)=56\displaystyle x=1+\left(- \frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}

При t=2t=2:

1x−1=2;\displaystyle \frac{1}{x - 1}=2;x−1=12=12;\displaystyle x - 1=\frac{1}{2}=\frac{1}{2};x=1+(12)=32\displaystyle x=1+\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}
Ответ:56;  32\displaystyle \frac{5}{6};\;\frac{3}{2}

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

В дробях встречаются обратная величина и её квадрат. Введём новую переменную, решим квадратное уравнение и вернёмся к x.

Уравнение
1(x−1)2+4x−1−12=0\dfrac{1}{{(x-1)}^{2}}+\dfrac{4}{x-1}-12=0
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Исключаем ноль знаменателя

Обе дроби определены только при ненулевом выражении x−1x - 1.

xx −1≠0⇒x≠1- 1\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne 1

Это ограничение действует до конца решения.

Вводим новую переменную

Обозначим обратную величину через tt. Тогда первая дробь — это квадрат новой переменной.

tt=1x−1,t≠0=\frac{1}{x - 1},\quad t\ne0

Обратная величина не может равняться нулю.

t2t^2=1(x−1)2=\frac{1}{(x - 1)^2}

Возводим обе части определения t в квадрат.

t2t^{2} +4t+ 4 t −12- 12=0=0

Подставляем t и t² в исходное уравнение.

Решаем квадратное уравнение относительно t

Сравниваем уравнение с видом at2+bt+c=0at^2+bt+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

t2t^{2} +4t+ 4 t −12- 12=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=4,c=4,\quad c=−12=-12

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=42=4^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−12)\cdot(-12)=64=64

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=8=8

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

t1t_{1}=−4−82⋅1=\frac{-4-8}{2\cdot1}=−6=-6

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

t2t_{2}=−4+82⋅1=\frac{-4+8}{2\cdot1}=2=2

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Возвращаемся к x: случай 1

Из найденного значения t=−6t=-6 найдём исходную переменную.

1x−1\frac{1}{x - 1}=−6=-6

Возвращаем определение t.

xx −1- 1=1−6=\frac{1}{-6}=−16=- \frac{1}{6}

Берём обратные величины: обе части ненулевые.

xx=1=1+(−16)+\left(- \frac{1}{6}\right)=56=\frac{5}{6}

Прибавляем сдвиг и складываем числа.

Возвращаемся к x: случай 2

Из найденного значения t=2t=2 найдём исходную переменную.

1x−1\frac{1}{x - 1}=2=2

Возвращаем определение t.

xx −1- 1=12=\frac{1}{2}=12=\frac{1}{2}

Берём обратные величины: обе части ненулевые.

xx=1=1+(12)+\left(\frac{1}{2}\right)=32=\frac{3}{2}

Прибавляем сдвиг и складываем числа.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=56:0=\frac{5}{6}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=32:0=\frac{3}{2}:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{56;  32}x\in\{\frac{5}{6};\;\frac{3}{2}\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Исключить ноль знаменателя.
  2. Ввести замену t=1/(x−a).
  3. Решить квадратное уравнение по t.
  4. Для каждого ненулевого t найти x и проверить ОДЗ.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Квадрат дроби: (1/u)2=1/u2(1/u)^2=1/u^2.
  • Из 1/u=t1/u=t при ненулевых u и t следует u=1/tu=1/t.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не принять найденные значения t за ответ на вопрос о x.
  • Не забыть ограничение на знаменатель.
  • При возвращении к x не терять сдвиг в выражении x−a.
Все задания №20 (200)