ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 290154135 из 200

Система уравнений: сложение

Решите систему уравнений ${\begin{matrix} 3 x^{2} + y = 9, \\ 7 x^{2} - y = 1. \end{matrix}$

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 290154.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения

ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Сложим уравнения системы:

\displaystyle 10x^2=10;

\displaystyle x^2=1;

\displaystyle x=\pm 1

Из первого уравнения:

\displaystyle y=9-3x^2=6

Ответ:

\displaystyle (-1;\;6);\quad (1;\;6)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все пары (x;y), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Идея решения

Коэффициенты при y противоположны. Сложим уравнения, найдём x, а затем восстановим y для каждого найденного значения.

Система: $\begin{cases}3{x}^{2}+y=9\\7{x}^{2}-y=1.\end{cases}$
Ищем: Все пары (x;y).

Складываем уравнения

В первом уравнении есть $+y$ , а во втором $-y$ . При сложении они уничтожаются; одновременно складываем и правые части.

(3+7)x^2

=9

+1

Складываем коэффициенты при x² и числа справа.

10x^2

=10

Получили одно уравнение только с x.

Находим оба значения x

Делим обе части на ненулевой коэффициент при $x^2$ . Затем извлекаем корень с двумя знаками.

x^2

=\frac{10}{10}

=1

Выполняем деление и сокращаем дробь.

x

=\pm\sqrt{1}

=\pm 1

Положительное и отрицательное числа имеют одинаковый квадрат.

Находим y для каждого x

Из первого уравнения выражаем $y$ . Оба найденных x имеют один и тот же квадрат, поэтому дают одинаковое значение y.

y

=9

-3x^2

Переносим слагаемое с x² вправо.

y

=9

-3

\cdot 1

=6

Подставляем уже найденное значение x².

Связываем каждое значение x с полученным y и записываем две пары.

Проверяем каждую пару в обоих уравнениях

Для системы недостаточно выполнить только одну строку. Подставляем x и y вместе и проверяем обе строки.

3 (-1)^{2}

+ (6)

=9

Пара $(-1;\;6)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $9$ .

7 (-1)^{2}

- (6)

=1

Пара $(-1;\;6)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $1$ .

3 (1)^{2}

+ (6)

=9

Пара $(1;\;6)$ , уравнение 1: левая часть равна правой, которая также равна $9$ .

7 (1)^{2}

- (6)

=1

Пара $(1;\;6)$ , уравнение 2: левая часть равна правой, которая также равна $1$ .

Все пары удовлетворяют обоим исходным уравнениям. На каждом этапе были рассмотрены все возможные значения.

Записываем ответ парами

Сначала в паре указывают x, затем y. Это важно: порядок определяет, какое число относится к какой переменной.

(-1;\;6);\quad (1;\;6)

Все решения исходной системы.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла: Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл: Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов: Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Записаны все существенные преобразования и пояснения.Учтены ограничения исходного выражения и все возможные решения.Окончательный ответ соответствует условию и записи в решении.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сложить уравнения, чтобы исключить y.
Найти x², затем оба значения x.
Подставить x² в первое уравнение и найти y.
Записать и проверить все пары (x;y).

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

При сложении верных равенств получается верное равенство.
Решение системы с двумя переменными — упорядоченная пара, а не отдельный список чисел.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не забыть сложить и правые части.
Не потерять отрицательное значение x.
Не записывать x и y раздельными списками без соответствия.

Все задания №20 (200)