Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ A06C64174 из 200

Кубическое уравнение: группировка

Решите уравнение x 3  +6 x 2  =9x+54 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A06C64.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

x3+6x2−9x−54=0;\displaystyle x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 54=0;x2(x+6)−9(x+6)=0;\displaystyle x^2(x + 6)-9(x + 6)=0;(x+6)(x2−9)=0\displaystyle (x + 6)(x^{2} - 9)=0

Произведение равно нулю, поэтому

x+6=0илиx2−9=0;\displaystyle x + 6=0\quad\text{или}\quad x^{2} - 9=0;x=−6;  −3;  3\displaystyle x=-6;\;-3;\;3
Ответ:−6;  −3;  3\displaystyle -6;\;-3;\;3

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

После переноса слагаемых появляется общая скобка. Разложим многочлен на множители и решим два более простых уравнения.

Уравнение
x3+6x2=9x+54{x}^{3}+6{x}^{2}=9x+54
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Переносим всё в левую часть

Вычитаем правую часть из обеих частей уравнения. При переносе слагаемых через знак равенства меняются их знаки.

x3x^{3} +6x2+ 6 x^{2} −9x- 9 x −54- 54=0=0

Справа получаем ноль. Это позволит разложить левую часть на множители.

Группируем по два слагаемых

Из первых двух слагаемых выносим x2x^2, а из последних двух — число −9-9. В обеих группах появляется одинаковая скобка x+6x + 6.

x2(x+6)x^2(x + 6)−9(x+6)-9(x + 6)=0=0

При раскрытии скобок получается исходный многочлен.

(x+6)(x2−9)(x + 6)(x^{2} - 9)=0=0

Выносим общую скобку.

Приравниваем каждый множитель к нулю

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Рассматриваем оба случая.

xx +6+ 6=0=0

Первый множитель.

xx=−6=-6

Переносим постоянное число вправо.

x2x^{2} −9- 9=0=0

Второй множитель.

x2x^2=9=9

Прибавляем 9 к обеим частям.

xx=−3илиx=-3\quad\text{или}\quad x=3=3

Квадрат положительного и отрицательного числа одинаков.

Делить на x+6x + 6 нельзя без отдельного рассмотрения его нуля: так можно потерять корень.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=−6:0=-6:\quad 0=0=0

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=−3:27=-3:\quad 27=27=27

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

xx=3:81=3:\quad 81=81=81

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{−6;  −3;  3}x\in\{-6;\;-3;\;3\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Перенести слагаемые влево, получить ноль справа.
  2. Сгруппировать слагаемые и вынести общую скобку.
  3. Приравнять каждый множитель к нулю.
  4. Собрать все различные корни и проверить их.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
  • У уравнения x2=cx^2=c при c>0c>0 два корня: x=±cx=\pm\sqrt{c}.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не делить на выражение с x: его нуль может быть решением.
  • Не забыть отрицательный корень квадратного уравнения.
  • Не менять знак только у части переносимых слагаемых.
Все задания №20 (200)