Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ F66235178 из 200

Уравнение с корнями: сохраняем ОДЗ

Решите уравнение x 2  −2x+ 4−x = 4−x +15 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F66235.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

Область допустимых значений:

4−x≥0,x≤4\displaystyle 4 - x\geq0,\quad x\leq 4

Вычитаем одинаковые радикалы и решаем:

x2−2x−15=0;\displaystyle x^{2} - 2 x - 15=0;D=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64;\displaystyle D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=64;x1=−3,x2=5\displaystyle x_{1}=-3,\quad x_{2}=5

Проверяем найденные значения по ОДЗ:

x=−3:7≥0;\displaystyle x=-3:\quad 7\geq0;x=5:−1<0\displaystyle x=5:\quad -1<0
Ответ:−3\displaystyle -3

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные корни исходного уравнения.

Идея решения

Одинаковые квадратные корни можно вычесть. Сначала определим, при каких x они существуют, а затем отберём допустимые корни полученного квадратного уравнения.

Уравнение
x2−2x+4−x=4−x+15{x}^{2}-2x+\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x}+15
Нужно найти
Все значения x, при которых обе части определены и равны.

Записываем допустимые значения x

Под квадратным корнем может стоять только неотрицательное число. Даже если корни дальше сократятся, это ограничение сохранится.

44 −x≥0- x\geq0

Требование к подкоренному выражению.

x≤4x\leq 4

Решаем линейное неравенство.

Вычитаем одинаковый корень

В обеих частях есть одинаковое слагаемое 4−x\sqrt{4 - x}. Вычтем его из обеих частей. Возводить уравнение в квадрат не нужно.

x2x^{2} −2x- 2 x −15- 15=0=0

Остаётся квадратное уравнение.

Решаем квадратное уравнение

Сравниваем уравнение с видом ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Коэффициент aa здесь — число перед квадратом переменной; bb — перед первой степенью, cc — свободный член.

x2x^{2} −2x- 2 x −15- 15=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−2,c=-2,\quad c=−15=-15

Коэффициенты берём вместе с их знаками.

DD=(−2)2=(-2)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−15)\cdot(-15)=64=64

Вычисляем дискриминант по формуле D=b²−4ac.

D\sqrt{D}=8=8

Находим арифметический квадратный корень из дискриминанта.

x1x_{1}=−(−2)−82⋅1=\frac{-(-2)-8}{2\cdot1}=−3=-3

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

x2x_{2}=−(−2)+82⋅1=\frac{-(-2)+8}{2\cdot1}=5=5

Подставляем в формулу корней; сначала считаем числитель и знаменатель, затем сокращаем дробь.

Получены все корни этого квадратного уравнения. Дальше учитываем ограничения исходной задачи.

Отбираем корни по ограничению

Возвращаемся к условию x≤4x\leq 4. Кандидат, нарушающий его, не является корнем исходного уравнения.

xx=−3:7≥0=-3:\quad 7\geq0

Подкоренное выражение неотрицательно: корень подходит.

xx=5:=5:\quad −1<0-1<0

Подкоренное выражение отрицательно: это значение исключаем.

Проверяем в исходном уравнении

Подставляем найденные значения именно в первоначальное уравнение. Заодно проверяем, что все дроби и корни определены.

xx=−3:7=-3:\quad \sqrt{7} +15+ 15=7=\sqrt{7} +15+ 15

При подстановке этого корня левая и правая части исходного уравнения совпадают.

Все записанные корни подходят. Использованные равносильные преобразования и рассмотрение всех случаев показывают, что других корней нет.

Записываем полный ответ

В ответ перечисляем все различные корни. Во второй части допустимы обыкновенные дроби и точные выражения с корнями.

x∈{−3}x\in\{-3\}

Каждое указанное число является корнем исходного уравнения.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найти область допустимых значений по подкоренному выражению.
  2. Вычесть одинаковые радикалы.
  3. Решить полученное квадратное уравнение.
  4. Исключить корни, нарушающие ОДЗ.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Арифметический квадратный корень определён при неотрицательном подкоренном выражении.
  • Вычитание одного и того же выражения из обеих частей сохраняет равенство там, где выражение определено.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не забыть ОДЗ после сокращения одинаковых корней.
  • Не записать в ответ все корни промежуточного квадратного уравнения без отбора.
  • Не возводить в квадрат без необходимости: здесь достаточно вычитания.
Все задания №20 (200)