Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 2D3686194 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 15 ( x+1 ) 2  −3 ≥0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2D3686.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠−3−1,x≠−1+3\displaystyle x\ne - \sqrt{3} - 1,\quad x\ne -1 + \sqrt{3}

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x+1)2−3<0\displaystyle (x + 1)^{2} - 3<0⇔(x+1)2<3\displaystyle (x + 1)^2<3⇔−3<x+1<3\displaystyle -\sqrt{3}<x + 1<\sqrt{3}⇔−3−1<x<−1+3\displaystyle - \sqrt{3} - 1<x<-1 + \sqrt{3}

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем −3−1,  −1+3- \sqrt{3} - 1,\;-1 + \sqrt{3} по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: −√3−1 (исключена), −1+√3 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(−3−1;  −1+3)\displaystyle (- \sqrt{3} - 1;\;-1 + \sqrt{3})

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−15(x+1)2−3≥0\dfrac{-15}{{(x+1)}^{2}-3}\geq0
Область допустимых значений
x≠−3−1,x≠−1+3x\ne - \sqrt{3} - 1,\quad x\ne -1 + \sqrt{3}

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠x\ne −3- \sqrt{3} −1,x≠- 1,\quad x\ne −1-1 +3+ \sqrt{3}

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −15-15, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x+1)2(x + 1)^{2} −3<0- 3<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 33 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 33, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x+1)2<3(x + 1)^2<3

Переносим постоянное слагаемое.

−3<x-\sqrt{3}<x +1<3+ 1<\sqrt{3}

Получаем строгое двойное неравенство.

−3- \sqrt{3} −1<x<- 1<x<−1-1 +3+ \sqrt{3}

Прибавляем -1 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=−3=- \sqrt{3} −1- 1

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=−1=-1 +3+ \sqrt{3}

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(−4)f(-4)=−52<0=- \frac{5}{2}<0

Для промежутка (−∞;  −3−1)(-\infty;\;- \sqrt{3} - 1) берём x=−4x=-4. Этот знак не подходит.

f(−2)f(-2)=152>0=\frac{15}{2}>0

Для промежутка (−3−1;  −1+3)(- \sqrt{3} - 1;\;-1 + \sqrt{3}) берём x=−2x=-2. Этот знак подходит.

f(2)f(2)=−52<0=- \frac{5}{2}<0

Для промежутка (−1+3;  ∞)(-1 + \sqrt{3};\;\infty) берём x=2x=2. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: −√3−1 (исключена), −1+√3 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(−3−1;  −1+3)x\in (- \sqrt{3} - 1;\;-1 + \sqrt{3})

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)