Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 20 · ФИПИ 3F88F181 из 200

Отрицательная дробь и квадрат в знаменателе

Решите неравенство − 13 ( x−4 ) 2  −6 ≥0 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 20, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3F88F1.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №20

Образец для экзамена и подробные пояснения
ЗАПИСЬ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

Образец решения на бланке №2

Номер задания, основные преобразования, пояснения и ответ.

20Решение

ОДЗ:

x≠4−6,x≠6+4\displaystyle x\ne 4 - \sqrt{6},\quad x\ne \sqrt{6} + 4

Числитель отрицателен и ненулевой, поэтому дробь ≥0 при отрицательном знаменателе:

(x−4)2−6<0\displaystyle (x - 4)^{2} - 6<0⇔(x−4)2<6\displaystyle (x - 4)^2<6⇔−6<x−4<6\displaystyle -\sqrt{6}<x - 4<\sqrt{6}⇔4−6<x<6+4\displaystyle 4 - \sqrt{6}<x<\sqrt{6} + 4

Решаем методом интервалов (см. схему). Исключаем 4−6,  6+44 - \sqrt{6},\;\sqrt{6} + 4 по ОДЗ.

Метод интервалов. Граничные точки: 4−√6 (исключена), √6+4 (исключена).
Выделенные участки и закрашенные точки входят в ответ. Масштаб условный.
Ответ:(4−6;  6+4)\displaystyle (4 - \sqrt{6};\;\sqrt{6} + 4)

На бланке пишите разборчиво яркими чёрными чернилами. Условие переписывать не требуется. Цвета и оформление страницы помогают при подготовке; единого обязательного шаблона решения нет.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти все действительные x, при которых исходное неравенство верно.

Идея решения

Числитель отрицателен и никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным.

Неравенство
−13(x−4)2−6≥0\dfrac{-13}{{(x-4)}^{2}-6}\geq0
Область допустимых значений
x≠4−6,x≠6+4x\ne 4 - \sqrt{6},\quad x\ne \sqrt{6} + 4

Определяем допустимые значения

Знаменатель дроби не может равняться нулю. Эти точки останутся исключёнными после любых преобразований.

x≠4x\ne 4 −6,x≠6- \sqrt{6},\quad x\ne \sqrt{6} +4+ 4

Записываем область допустимых значений.

Определяем, когда дробь неотрицательна

Числитель — постоянное отрицательное число −13-13, и нулю он не равен. Значит, неотрицательная дробь здесь должна быть положительной; её знаменатель тоже должен быть отрицательным.

(x−4)2(x - 4)^{2} −6<0- 6<0

Минус, делённый на минус, даёт плюс. Ноль знаменателя запрещён.

Решаем неравенство с квадратом

Прибавим 66 к обеим частям. Квадрат числа меньше положительного числа 66, если само число находится между двумя противоположными корнями.

(x−4)2<6(x - 4)^2<6

Переносим постоянное слагаемое.

−6<x-\sqrt{6}<x −4<6- 4<\sqrt{6}

Получаем строгое двойное неравенство.

44 −6<x<6- \sqrt{6}<x<\sqrt{6} +4+ 4

Прибавляем 4 ко всем трём частям.

Отмечаем граничные и запрещённые точки

Знак рационального выражения может измениться только в его нуле или при переходе через ноль знаменателя. Отмечаем все такие точки, включая запреты после сокращения.

xx=4=4 −6- \sqrt{6}

Ноль знаменателя: точка исключена.

xx=6=\sqrt{6} +4+ 4

Ноль знаменателя: точка исключена.

Проверяем знак на каждом промежутке

Обозначим через f(x)f(x) левую часть неравенства после переноса всех слагаемых влево. Внутри каждого отмеченного промежутка она непрерывна и не имеет нулей, поэтому достаточно одного пробного значения.

f(0)f(0)=−1310<0=- \frac{13}{10}<0

Для промежутка (−∞;  4−6)(-\infty;\;4 - \sqrt{6}) берём x=0x=0. Этот знак не подходит.

f(2)f(2)=132>0=\frac{13}{2}>0

Для промежутка (4−6;  6+4)(4 - \sqrt{6};\;\sqrt{6} + 4) берём x=2x=2. Этот знак подходит.

f(8)f(8)=−1310<0=- \frac{13}{10}<0

Для промежутка (6+4;  ∞)(\sqrt{6} + 4;\;\infty) берём x=8x=8. Этот знак не подходит.

На схеме толстые участки — подходящие промежутки. Закрашенная точка входит в ответ, незакрашенная не входит.

Схема знаков и множество решений

Метод интервалов. Граничные точки: 4−√6 (исключена), √6+4 (исключена).
Обозначения на чертеже
  • Толстый участок — подходящие значения x.
  • Ноль знаменателя всегда исключён.
Толстые участки и закрашенные точки входят в ответ. Незакрашенные точки исключены. Расстояния на схеме условные: порядок и подписи границ точные.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем множество решений

Объединяем все подходящие промежутки и отдельно включаем разрешённые нули при нестрогом знаке. Все нули знаменателя исключаем.

x∈(4−6;  6+4)x\in (4 - \sqrt{6};\;\sqrt{6} + 4)

Круглая скобка исключает конец; квадратная включает. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.

Что проверяет эксперт

В №20 оценивают решение целиком. В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года предусмотрено до 2 баллов:

2 балла
Верный ответ получен с достаточным математическим обоснованием.
1 балл
Решение завершено, но содержит вычислительные ошибки; дальнейшие действия согласованы с полученными результатами.
0 баллов
Решение не удовлетворяет этим критериям. Одна запись ответа без решения недостаточна.

Основа оформления: проект демоверсии ФИПИ 2027 и рекомендации для экспертов 2026. Образец записи и учебные пояснения подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены преобразования, ограничения и полный набор решений исходной задачи.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определить область допустимых значений.
  2. Перенести всё влево и разложить числитель и знаменатель на множители.
  3. Отметить нули и запрещённые точки; проверить знаки на промежутках.
  4. Учитывая строгий или нестрогий знак, записать объединение промежутков.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Знаменатель дроби не может равняться нулю.
  • При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется; на выражение неизвестного знака умножать без разбора случаев нельзя.
  • Квадрат ненулевого числа положителен. Корень чётной кратности не обязательно меняет знак выражения.
  • Знак ∪\cup объединяет множества решений.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не включить в ответ запрещённую точку после сокращения.
  • Не перепутать круглые и квадратные скобки на концах промежутка.
  • Не забыть отдельный допустимый нуль числителя.
  • Не чередовать знаки без проверки кратности корня.
Все задания №20 (200)