Задание 35 из 69Показательные уравненияЯщенко · вариант 2

Линия №7

Найдите корень уравнения $2 5^{x - 5}$ $= 125$ .

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5,75

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Приведём обе части к одному основанию, приравняем показатели и решим линейное уравнение.

25^{x-5}=\sqrt{125}

Ключевая идея:

Степени одного положительного основания, отличного от единицы, равны только при равных показателях.

a^u=a^v\iff u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

25^{x-5}=\sqrt{125}

Укажем допустимые значения

Обе показательные функции определены при всех действительных x; дополнительных ограничений нет.

x\in\mathbb R

Приведём к общему основанию

Используем свойства степеней.

25=5^2

\sqrt{125}=5^{3/2}

5^{2(x-5)}=5^{3/2}

Приравняем показатели и найдём x

Основание 5 положительно и не равно единице. Поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей.

2x-10=\frac32

2x=\frac{23}2

x=\frac{23}4=5{,}75

Проверим подстановкой

Подставим найденное значение. Обе части исходного уравнения равны; линейное уравнение дало единственный корень.

25^{23/4-5}=25^{3/4}

25^{3/4}=5^{3/2}=\sqrt{125}

Ответ

x=5{,}75

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Степени одного положительного основания, отличного от единицы, равны только при равных показателях.
$a^u=a^v\iff u=v$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x\in\mathbb R$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
При возведении степени в степень показатели перемножаются. Отрицательный показатель относится ко всему выражению в скобках.
Выбор ответа
Ответом является значение x, а не промежуточное значение выражения.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x\in\mathbb R$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=5{,}75$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 25x−5 =125​.