Задание 56 из 69Степенные уравненияЯщенко · вариант 23

Линия №7

Найдите корень уравнения $(1 - x^{2})^{3}$ $= - 27$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала найдём возможные значения выражения в скобках, затем решим квадратные уравнения и выберем наименьший корень.

(1-x^2)^3=-27

Ключевая идея:

При извлечении кубического корня знак сохраняется; при последующем решении x² = 4 получаются два значения x.

u^3=-27\iff u=-3

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

(1-x^2)^3=-27

Укажем область определения

Многочлен определён при всех действительных x.

x\in\mathbb R

Извлечём кубический корень

Правая часть равна кубу числа −3.

1-x^2=-3

Решим квадратное уравнение

Перенесём слагаемые и учтём оба знака.

x^2=4

x=-2\ \text{или}\ x=2

Проверим и выберем меньший

Оба корня дают одинаковое значение выражения в скобках. Меньший из них равен −2.

(1-4)^3=(-3)^3=-27

x_{\min}=-2

Ответ

x=-2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
При извлечении кубического корня знак сохраняется; при последующем решении x² = 4 получаются два значения x.
$u^3=-27\iff u=-3$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x\in\mathbb R$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Не путайте извлечение кубического корня с решением квадратного уравнения: два значения возникают на втором шаге.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x\in\mathbb R$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-2$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения (1−x2)3 =−27. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.