Задание 38 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 5

Линия №7

Найдите корень уравнения $lo g_{3} (0, 25 - x)$ $= lo g_{3} (x^{2} - x)$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -0,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Основания логарифмов одинаковы. Приравняем аргументы и отберём корни по области допустимых значений.

\log_3(0{,}25-x)=\log_3(x^2-x)

Ключевая идея:

Положительными должны быть оба аргумента. Больший корень преобразованного уравнения может не подходить исходному.

\log_a u=\log_a v\iff u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_3(0{,}25-x)=\log_3(x^2-x)

Запишем ОДЗ

Оба аргумента логарифмов должны быть строго положительными. Пересечение условий оставляет только отрицательные x.

0{,}25-x>0

x<0{,}25

x(x-1)>0

x<0\ \text{или}\ x>1

x<0

Приравняем аргументы

Основания совпадают, положительны и не равны единице. Прибавляем x к обеим частям.

0{,}25-x=x^2-x

x^2=0{,}25

x=\pm 0{,}5

Отберём допустимый корень

Положительный кандидат не принадлежит ОДЗ. Остаётся единственный корень; фраза о большем корне применяется только к действительным корням исходного уравнения.

x=-0{,}5<0

Проверим аргументы

При подстановке оба аргумента одинаковы и положительны, поэтому логарифмы равны.

0{,}25-(-0{,}5)=0{,}75

(-0{,}5)^2-(-0{,}5)=0{,}75>0

Ответ

x=-0{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Положительными должны быть оба аргумента. Больший корень преобразованного уравнения может не подходить исходному.
$\log_a u=\log_a v\iff u=v$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x<0$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Нельзя выбирать положительный корень только потому, что он больше: сначала исключите недопустимые значения.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x<0$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-0{,}5$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log3​(0,25−x) =log3​(x2−x). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.